При каком значении (или значениях) a уравнение x² - (a + 3)x + a + 5 = 0 имеет два положительных корня, один из которых в 2 раза больше другого?

Для решения задачи воспользуемся теоремой Виета и условием, что один корень в 2 раза больше другого. Дано уравнение: $x^2 - (a + 3)x + a + 5 = 0$ Пусть корни уравнения — $x_1$ и $x_2$. По условию: 1. $x_1 > 0, x_2 > 0$ (оба корня положительные). 2. $x_2 = 2x_1$ (один в 2 раза больше другого). По теореме Виета: $\begin{cases} x_1 + x_2 = a + 3 \\ x_1 \cdot x_2 = a + 5 \end{cases}$ Подставим $x_2 = 2x_1$ в систему: $\begin{cases} x_1 + 2x_1 = a + 3 \\ x_1 \cdot 2x_1 = a + 5 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 3x_1 = a + 3 \\ 2x_1^2 = a + 5 \end{cases}$ Выразим $x_1$ из первого уравнения: $x_1 = \frac{a + 3}{3}$. Подставим во второе уравнение: $2 \cdot (\frac{a + 3}{3})^2 = a + 5$ $2 \cdot \frac{a^2 + 6a + 9}{9} = a + 5$ $2a^2 + 12a + 18 = 9a + 45$ $2a^2 + 3a - 27 = 0$ Решим квадратное уравнение через дискриминант: $D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-27) = 9 + 216 = 225 = 15^2$ $a_1 = \frac{-3 + 15}{4} = 3$ $a_2 = \frac{-3 - 15}{4} = -4,5$ Проверим условие положительности корней ($x_1 > 0$): Если $a = 3$, то $x_1 = \frac{3 + 3}{3} = 2 > 0$ (подходит). Если $a = -4,5$, то $x_1 = \frac{-4,5 + 3}{3} = -0,5 < 0$ (не подходит, так как корни должны быть положительными). **Ответ: a = 3**