Существует ли такое значение a, при котором уравнение $x^2 - ax + a - 4 = 0$ не имеет корней, имеет один корень, имеет два корня?

Question

Вопрос:

Существует ли такое значение a, при котором уравнение $x^2 - ax + a - 4 = 0$ не имеет корней, имеет один корень, имеет два корня?

Фотография

Ответ ассистента

Accepted Answer

Чтобы определить, сколько корней имеет квадратное уравнение $x^2 - ax + a - 4 = 0$, нужно рассмотреть его дискриминант $D$. Коэффициенты уравнения: $a_0 = 1$, $b_0 = -a$, $c_0 = a - 4$. Формула дискриминанта: $D = b_0^2 - 4a_0c_0$ Подставляем значения: $$D = (-a)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (a - 4)$$ $$D = a^2 - 4a + 16$$ Теперь нужно определить, при каких значениях $a$ дискриминант будет: а) меньше нуля (нет корней) б) равен нулю (один корень) в) больше нуля (два корня) Для этого найдем дискриминант выражения $a^2 - 4a + 16$ (обозначим его $D_a$): $$D_a = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 16 = 16 - 64 = -48$$ Так как $D_a < 0$, и коэффициент при $a^2$ (то есть 1) положительный, то квадратный трехчлен $a^2 - 4a + 16$ всегда будет больше нуля при любых значениях $a$. Значит, $D = a^2 - 4a + 16 > 0$ при любом значении $a$. а) Уравнение не имеет корней, если $D < 0$. Это невозможно, так как $D$ всегда больше нуля. б) Уравнение имеет один корень, если $D = 0$. Это невозможно, так как $D$ всегда больше нуля. в) Уравнение имеет два корня, если $D > 0$. Это верно при любом значении $a$. **Ответ: Существует такое значение $a$, при котором уравнение имеет два корня. Это верно для любых значений $a$.**

Существует ли такое значение a, при котором уравнение $x^2 - ax + a - 4 = 0$ не имеет корней, имеет один корень, имеет два корня?

Ответ ассистента

Другие решения