Даны точки A(-2; 3), B(1; -1), C(2; 4). Найдите координаты и модули векторов, скалярное произведение и косинус угла.

1. Даны точки $A(-2; 3)$, $B(1; -1)$, $C(2; 4)$. 1) Координаты векторов $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{CA}$: $\overrightarrow{AB} = (1 - (-2); -1 - 3) = (3; -4)$ $\overrightarrow{CA} = (-2 - 2; 3 - 4) = (-4; -1)$ 2) Модули векторов: $|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = 5$ $|\overrightarrow{CA}| = \sqrt{(-4)^2 + (-1)^2} = \sqrt{16 + 1} = \sqrt{17}$ 3) Координаты вектора $\overrightarrow{MN} = 3\overrightarrow{AB} - 2\overrightarrow{CA}$: $3\overrightarrow{AB} = (3 \cdot 3; 3 \cdot (-4)) = (9; -12)$ $2\overrightarrow{CA} = (2 \cdot (-4); 2 \cdot (-1)) = (-8; -2)$ $\overrightarrow{MN} = (9 - (-8); -12 - (-2)) = (17; -10)$ 4) Скалярное произведение $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CA}$: $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CA} = 3 \cdot (-4) + (-4) \cdot (-1) = -12 + 4 = -8$ 5) Косинус угла $\alpha$ между векторами $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{CA}$: $\cos \alpha = \frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CA}}{|\overrightarrow{AB}| \cdot |\overrightarrow{CA}|} = \frac{-8}{5 \cdot \sqrt{17}} = -\frac{8}{5\sqrt{17}} = -\frac{8\sqrt{17}}{85}$ 2. Построение векторов (по правилам треугольника и параллелограмма): 1) $\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CB} = \overrightarrow{AB}$ (сумма по правилу треугольника). 2) $\overrightarrow{BC} - \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{AC}$ (разность векторов с общим началом). 3) $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}$ — вектор, являющийся диагональю параллелограмма, построенного на $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{AC}$. 3. Даны $\vec{a}(2; 6)$ и $\vec{b}(-3; k)$. 1) Коллинеарны: отношения координат равны. $\frac{2}{-3} = \frac{6}{k} \Rightarrow 2k = -18 \Rightarrow k = -9$. 2) Перпендикулярны: скалярное произведение равно 0. $2 \cdot (-3) + 6 \cdot k = 0 \Rightarrow -6 + 6k = 0 \Rightarrow 6k = 6 \Rightarrow k = 1$. 4. В параллелограмме $ABCD$: $\overrightarrow{AB} = \vec{a}$, $\overrightarrow{AD} = \vec{b}$. $AF : FB = 1 : 4 \Rightarrow \overrightarrow{FB} = \frac{4}{5}\overrightarrow{AB} = \frac{4}{5}\vec{a}$. $BE : EC = 1 : 3 \Rightarrow \overrightarrow{BE} = \frac{1}{4}\overrightarrow{BC} = \frac{1}{4}\overrightarrow{AD} = \frac{1}{4}\vec{b}$. По правилу сложения векторов: $\overrightarrow{EF} = \overrightarrow{EB} + \overrightarrow{BF} = -\overrightarrow{BE} - \overrightarrow{FB} = -\frac{1}{4}\vec{b} - \frac{4}{5}\vec{a}$. **Ответ: 1.1) (3; -4), (-4; -1); 1.2) 5, $\sqrt{17}$; 1.3) (17; -10); 1.4) -8; 1.5) $-\frac{8\sqrt{17}}{85}$; 3.1) -9; 3.2) 1; 4) $-\frac{4}{5}\vec{a} - \frac{1}{4}\vec{b}$.**