Даны точки A(-2; 3), B(1; -1), C(2; 4). Найдите координаты векторов, модули, скалярное произведение и косинус угла.

**Задание 1.** **Ответ:** 1) $\vec{AB} = \{3; -4\}$, $\vec{CA} = \{-4; -1\}$ 2) $|\vec{AB}| = 5$, $|\vec{CA}| = \sqrt{17}$ 3) $\vec{MN} = \{17; -10\}$ 4) $\vec{AB} \cdot \vec{CA} = -8$ 5) $\cos(\vec{AB}, \vec{CA}) = -\frac{8\sqrt{17}}{85}$ **Решение:** 1) Находим координаты векторов по формуле $\vec{XY} = \{x_2-x_1; y_2-y_1\}$: $\vec{AB} = \{1 - (-2); -1 - 3\} = \{3; -4\}$ $\vec{CA} = \{-2 - 2; 3 - 4\} = \{-4; -1\}$ 2) Длина вектора $|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2}$: $|\vec{AB}| = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = 5$ $|\vec{CA}| = \sqrt{(-4)^2 + (-1)^2} = \sqrt{16 + 1} = \sqrt{17}$ 3) $\vec{MN} = 3\vec{AB} - 2\vec{CA} = 3\{3; -4\} - 2\{-4; -1\} = \{9; -12\} - \{-8; -2\} = \{9 - (-8); -12 - (-2)\} = \{17; -10\}$ 4) Скалярное произведение $\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2$: $\vec{AB} \cdot \vec{CA} = 3 \cdot (-4) + (-4) \cdot (-1) = -12 + 4 = -8$ 5) Косинус угла $\cos \alpha = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$: $\cos \alpha = \frac{-8}{5 \cdot \sqrt{17}} = -\frac{8}{5\sqrt{17}} = -\frac{8\sqrt{17}}{85}$ --- **Задание 3.** **Ответ:** 1) $k = -9$; 2) $k = 1$ **Решение:** 1) Векторы коллинеарны, если их координаты пропорциональны: $\frac{x_a}{x_b} = \frac{y_a}{y_b}$. $\frac{2}{-3} = \frac{6}{k} \Rightarrow 2k = -18 \Rightarrow k = -9$ 2) Векторы перпендикулярны, если их скалярное произведение равно 0: $x_a x_b + y_a y_b = 0$. $2 \cdot (-3) + 6 \cdot k = 0 \Rightarrow -6 + 6k = 0 \Rightarrow 6k = 6 \Rightarrow k = 1$