Даны точки A(-3; 1), B(1; -2) и C(-1; 0). Найдите: 1) координаты векторов AB и AC; 2) модули векторов AB и AC; 3) координаты вектора MK = 2AB - 3AC; 4) скалярное произведение векторов AB и AC; 5) косинус угла между векторами AB и AC.

№ 1. Даны точки $A(-3; 1)$, $B(1; -2)$ и $C(-1; 0)$. 1) Чтобы найти координаты вектора, нужно из координат конца вычесть координаты начала: $\vec{AB} = (1 - (-3); -2 - 1) = (4; -3)$ $\vec{AC} = (-1 - (-3); 0 - 1) = (2; -1)$ 2) Модуль (длина) вектора $\vec{a}(x; y)$ вычисляется по формуле $|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2}$: $|\vec{AB}| = \sqrt{4^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$ $|\vec{AC}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}$ 3) $\vec{MK} = 2\vec{AB} - 3\vec{AC} = 2(4; -3) - 3(2; -1) = (8; -6) - (6; -3) = (8 - 6; -6 - (-3)) = (2; -3)$ 4) Скалярное произведение $\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1 x_2 + y_1 y_2$: $\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 4 \cdot 2 + (-3) \cdot (-1) = 8 + 3 = 11$ 5) Косинус угла $\alpha$ между векторами: $\cos \alpha = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{AC}}{|\vec{AB}| \cdot |\vec{AC}|} = \frac{11}{5 \cdot \sqrt{5}} = \frac{11\sqrt{5}}{25}$ № 2. Построение векторов в треугольнике $ABC$: 1) $\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$ (по правилу треугольника: конец первого вектора совпадает с началом второго). 2) $\vec{AC} - \vec{AB} = \vec{BC}$ (по правилу разности векторов с общим началом). 3) $\vec{CA} + \vec{CB} = \vec{CM}$, где $M$ — четвертая вершина параллелограмма $ACBM$ (по правилу параллелограмма). № 3. Даны $\vec{m}(4; 14)$ и $\vec{n}(-7; k)$. 1) Векторы коллинеарны, если их координаты пропорциональны: $\frac{4}{-7} = \frac{14}{k} \Rightarrow 4k = -98 \Rightarrow k = -24,5$ 2) Векторы перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю: $4 \cdot (-7) + 14 \cdot k = 0 \Rightarrow -28 + 14k = 0 \Rightarrow 14k = 28 \Rightarrow k = 2$ № 4. В параллелограмме $ABCD$: $\vec{AB} = \vec{a}$, $\vec{AD} = \vec{b}$. $BM : MC = 2 : 5 \Rightarrow BM = \frac{2}{7} BC = \frac{2}{7} AD \Rightarrow \vec{BM} = \frac{2}{7} \vec{b}$. $CP : PD = 3 : 1 \Rightarrow CP = \frac{3}{4} CD = \frac{3}{4} BA \Rightarrow \vec{CP} = -\frac{3}{4} \vec{a}$ (так как $\vec{CD} = -\vec{a}$). Используем правило ломаной: $\vec{MP} = \vec{MC} + \vec{CP}$. $\vec{MC} = \frac{5}{7} \vec{BC} = \frac{5}{7} \vec{b}$. $\vec{MP} = \frac{5}{7} \vec{b} - \frac{3}{4} \vec{a}$. **Ответ: № 1: 1) (4; -3), (2; -1); 2) 5, √5; 3) (2; -3); 4) 11; 5) 11/(5√5). № 3: 1) -24,5; 2) 2. № 4: MP = -0,75a + 5/7b.**