а) Решите уравнение $2 \cos (2\pi + 2x) - 2 + \sqrt{8} \sin x = -\sqrt{6} + \sqrt{12} \sin x$.

а) Решим уравнение $2 \cos (2\pi + 2x) - 2 + \sqrt{8} \sin x = -\sqrt{6} + \sqrt{12} \sin x$. Сначала упростим выражение, используя свойство периодичности косинуса $\cos(2\pi + \alpha) = \cos(\alpha)$: $$2 \cos(2x) - 2 + \sqrt{8} \sin x = -\sqrt{6} + \sqrt{12} \sin x$$ Используем формулу косинуса двойного угла $\cos(2x) = 1 - 2\sin^2 x$: $$2(1 - 2\sin^2 x) - 2 + \sqrt{8} \sin x = -\sqrt{6} + \sqrt{12} \sin x$$ Раскроем скобки и упростим: $$2 - 4\sin^2 x - 2 + \sqrt{8} \sin x = -\sqrt{6} + \sqrt{12} \sin x$$ $$-4\sin^2 x + \sqrt{8} \sin x = -\sqrt{6} + \sqrt{12} \sin x$$ Заметим, что $\sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2}$ и $\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}$. Подставим это в уравнение: $$-4\sin^2 x + 2\sqrt{2} \sin x = -\sqrt{6} + 2\sqrt{3} \sin x$$ Перенесем все члены в левую часть: $$-4\sin^2 x + 2\sqrt{2} \sin x - 2\sqrt{3} \sin x + \sqrt{6} = 0$$ $$-4\sin^2 x + (2\sqrt{2} - 2\sqrt{3}) \sin x + \sqrt{6} = 0$$ Умножим все на $-1$ для удобства: $$4\sin^2 x - (2\sqrt{2} - 2\sqrt{3}) \sin x - \sqrt{6} = 0$$ $$4\sin^2 x + (2\sqrt{3} - 2\sqrt{2}) \sin x - \sqrt{6} = 0$$ Пусть $y = \sin x$. Тогда уравнение примет вид квадратного уравнения: $$4y^2 + (2\sqrt{3} - 2\sqrt{2})y - \sqrt{6} = 0$$ Найдем дискриминант $D$: $$D = b^2 - 4ac = (2\sqrt{3} - 2\sqrt{2})^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-\sqrt{6})$$ $$D = (2\sqrt{3})^2 - 2 \cdot 2\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{2} + (2\sqrt{2})^2 + 16\sqrt{6}$$ $$D = 12 - 8\sqrt{6} + 8 + 16\sqrt{6}$$ $$D = 20 + 8\sqrt{6}$$ Мы можем заметить, что $20 + 8\sqrt{6} = 20 + 2 \cdot 4\sqrt{6} = 20 + 2 \sqrt{16 \cdot 6} = 20 + 2\sqrt{96}$. Попробуем представить $20 + 8\sqrt{6}$ как квадрат двучлена $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$. $$D = (2\sqrt{3} + 2\sqrt{2})^2 = (2\sqrt{3})^2 + 2(2\sqrt{3})(2\sqrt{2}) + (2\sqrt{2})^2 = 12 + 8\sqrt{6} + 8 = 20 + 8\sqrt{6}$$ Ой, извините, я заметил, что $D = (2\sqrt{3} + 2\sqrt{2})^2$ не подходит, нужно перепроверить, как упростить $\sqrt{20 + 8\sqrt{6}}$. Давайте еще раз посмотрим на дискриминант: $$D = 20 + 8\sqrt{6}$$ Это $ (2\sqrt{3}+2\sqrt{2})^2 = 12+8\sqrt{6}+8 = 20+8\sqrt{6}$. Значит, $\sqrt{D} = \sqrt{(2\sqrt{3} + 2\sqrt{2})^2} = 2\sqrt{3} + 2\sqrt{2}$. Найдем корни $y$: $$y_{1,2} = \frac{-(2\sqrt{3} - 2\sqrt{2}) \pm (2\sqrt{3} + 2\sqrt{2})}{2 \cdot 4}$$ $$y_1 = \frac{-2\sqrt{3} + 2\sqrt{2} + 2\sqrt{3} + 2\sqrt{2}}{8} = \frac{4\sqrt{2}}{8} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$ $$y_2 = \frac{-2\sqrt{3} + 2\sqrt{2} - (2\sqrt{3} + 2\sqrt{2})}{8} = \frac{-2\sqrt{3} + 2\sqrt{2} - 2\sqrt{3} - 2\sqrt{2}}{8} = \frac{-4\sqrt{3}}{8} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$$ Теперь вернемся к $\sin x = y$: 1) $\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ $$x = (-1)^n \frac{\pi}{4} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$ 2) $\sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ $$x = (-1)^k \left(-\frac{\pi}{3}\right) + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$ $$x = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{3} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$ **Ответ:** $$x = (-1)^n \frac{\pi}{4} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$ $$x = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{3} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$ б) Найдем корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[0; \frac{3\pi}{2}\right]$. Рассмотрим первое семейство решений: $\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ При $n=0$: $x = \frac{\pi}{4}$. Этот корень принадлежит отрезку $\left[0; \frac{3\pi}{2}\right]$ ($0 \le \frac{\pi}{4} \le \frac{3\pi}{2}$, так как $0 \le 0.25 \le 1.5$). При $n=1$: $x = -\frac{\pi}{4} + \pi = \frac{3\pi}{4}$. Этот корень также принадлежит отрезку $\left[0; \frac{3\pi}{2}\right]$ ($0 \le \frac{3\pi}{4} \le \frac{3\pi}{2}$, так как $0 \le 0.75 \le 1.5$). При $n=2$: $x = \frac{\pi}{4} + 2\pi = \frac{9\pi}{4}$. Этот корень не принадлежит отрезку, так как $\frac{9\pi}{4} > \frac{3\pi}{2}$ ($2.25 > 1.5$). Рассмотрим второе семейство решений: $\sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ Для удобства представим это в виде $x = \frac{4\pi}{3} + 2\pi m$ и $x = \frac{5\pi}{3} + 2\pi m$ (или $x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi m$ и $x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi m$). Используя $x = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{3} + \pi k$: При $k=0$: $x = (-1)^1 \frac{\pi}{3} + 0 = -\frac{\pi}{3}$. Этот корень не принадлежит отрезку, так как $- \frac{\pi}{3} < 0$. При $k=1$: $x = (-1)^2 \frac{\pi}{3} + \pi = \frac{\pi}{3} + \pi = \frac{4\pi}{3}$. Этот корень принадлежит отрезку $\left[0; \frac{3\pi}{2}\right]$ ($0 \le \frac{4\pi}{3} \le \frac{3\pi}{2}$, так как $0 \le 1.33... \le 1.5$). При $k=2$: $x = (-1)^3 \frac{\pi}{3} + 2\pi = -\frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{5\pi}{3}$. Этот корень не принадлежит отрезку, так как $\frac{5\pi}{3} > \frac{3\pi}{2}$ ($1.66... > 1.5$). Корни из первого семейства решений: $x = \frac{\pi}{4}$ и $x = \frac{3\pi}{4}$. Корни из второго семейства решений: $x = \frac{4\pi}{3}$. **Ответ:** б) $\frac{\pi}{4}$, $\frac{3\pi}{4}$, $\frac{4\pi}{3}$