Упрости выражение sin²(π/4 + α) - sin²(π/4 - α)

Применим формулу разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$. Тогда: $$\sin^2(\frac{\pi}{4} + \alpha) - \sin^2(\frac{\pi}{4} - \alpha) = \left(\sin(\frac{\pi}{4} + \alpha) - \sin(\frac{\pi}{4} - \alpha)\right) \left(\sin(\frac{\pi}{4} + \alpha) + \sin(\frac{\pi}{4} - \alpha)\right)$$ Используем формулы для суммы и разности синусов: $$\sin(x + y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y$$ $$\sin(x - y) = \sin x \cos y - \cos x \sin y$$ Применим эти формулы к нашим скобкам: $$\sin(\frac{\pi}{4} + \alpha) - \sin(\frac{\pi}{4} - \alpha) = (\sin(\frac{\pi}{4})\cos(\alpha) + \cos(\frac{\pi}{4})\sin(\alpha)) - (\sin(\frac{\pi}{4})\cos(\alpha) - \cos(\frac{\pi}{4})\sin(\alpha)) = 2\cos(\frac{\pi}{4})\sin(\alpha)$$ $$\sin(\frac{\pi}{4} + \alpha) + \sin(\frac{\pi}{4} - \alpha) = (\sin(\frac{\pi}{4})\cos(\alpha) + \cos(\frac{\pi}{4})\sin(\alpha)) + (\sin(\frac{\pi}{4})\cos(\alpha) - \cos(\frac{\pi}{4})\sin(\alpha)) = 2\sin(\frac{\pi}{4})\cos(\alpha)$$ Подставим значения $\sin(\frac{\pi}{4}) = \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$: $$2\cos(\frac{\pi}{4})\sin(\alpha) = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \sin(\alpha) = \sqrt{2} \sin(\alpha)$$ $$2\sin(\frac{\pi}{4})\cos(\alpha) = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cos(\alpha) = \sqrt{2} \cos(\alpha)$$ Перемножим эти выражения: $$\left(\sqrt{2} \sin(\alpha)\right) \left(\sqrt{2} \cos(\alpha)\right) = 2 \sin(\alpha)\cos(\alpha)$$ Используем формулу двойного угла для синуса: $2 \sin(\alpha)\cos(\alpha) = \sin(2\alpha)$. **Ответ: $\sin(2\alpha)$**