Упростите тригонометрическое выражение

Для решения этого выражения будем использовать формулы приведения. В числителе: 1. $$ctg\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) = tg(\alpha)$$ 2. $$sin\left(\frac{3\pi}{2} - \alpha\right) = -cos(\alpha)$$ 3. $$sin(\pi + \alpha) = -sin(\alpha)$$ Теперь подставим это в числитель: $$tg(\alpha)(-cos(\alpha) - sin(\alpha)) = tg(\alpha)(- (cos(\alpha) + sin(\alpha)))$$ $$= - \frac{sin(\alpha)}{cos(\alpha)} (cos(\alpha) + sin(\alpha)) = - (sin(\alpha) + \frac{sin^2(\alpha)}{cos(\alpha)})$$ В знаменателе: 1. $$ctg(\pi + \alpha) = ctg(\alpha)$$ 2. $$cos(2\pi + \alpha) = cos(\alpha)$$ 3. $$sin(2\pi - \alpha) = -sin(\alpha)$$ Теперь подставим это в знаменатель: $$ctg(\alpha)(cos(\alpha) - (-sin(\alpha))) = ctg(\alpha)(cos(\alpha) + sin(\alpha))$$ $$= \frac{cos(\alpha)}{sin(\alpha)} (cos(\alpha) + sin(\alpha)) = (\frac{cos^2(\alpha)}{sin(\alpha)} + cos(\alpha))$$ Теперь объединим числитель и знаменатель: $$\frac{- (sin(\alpha) + \frac{sin^2(\alpha)}{cos(\alpha)})}{(\frac{cos^2(\alpha)}{sin(\alpha)} + cos(\alpha))} = \frac{- \frac{sin(\alpha)cos(\alpha) + sin^2(\alpha)}{cos(\alpha)}}{\frac{cos^2(\alpha) + sin(\alpha)cos(\alpha)}{sin(\alpha)}} = \frac{- sin(\alpha)(cos(\alpha) + sin(\alpha))}{cos(\alpha)} \cdot \frac{sin(\alpha)}{cos(\alpha)(cos(\alpha) + sin(\alpha))}$$ Сокращаем $$(cos(\alpha) + sin(\alpha))$$: $$= - \frac{sin^2(\alpha)}{cos^2(\alpha)} = -tg^2(\alpha)$$ **Ответ: $-tg^2(\alpha)$**