Можешь помочь решить уравнение sin⁴(x/4) - cos⁴(x/4) = cos(x - (3π)/2) и найти все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-4π; -π]?

Конечно, давай решим это уравнение вместе! a) Давай решим уравнение $\sin^4{\frac{x}{4}} - \cos^4{\frac{x}{4}} = \cos{(x - \frac{3\pi}{2})}$. Сначала упростим левую часть уравнения, используя формулу разности квадратов: $$\sin^4{\frac{x}{4}} - \cos^4{\frac{x}{4}} = (\sin^2{\frac{x}{4}} - \cos^2{\frac{x}{4}})(\sin^2{\frac{x}{4}} + \cos^2{\frac{x}{4}})$$ Так как $\sin^2{\alpha} + \cos^2{\alpha} = 1$, то выражение упрощается до: $$\sin^2{\frac{x}{4}} - \cos^2{\frac{x}{4}} = -\cos{\frac{x}{2}}$$ Теперь упростим правую часть уравнения, используя формулы приведения. $$\cos{(x - \frac{3\pi}{2})} = -\sin{x}$$ Уравнение принимает вид: $$-\cos{\frac{x}{2}} = -\sin{x}$$ $$\cos{\frac{x}{2}} = \sin{x}$$ Выразим $\sin{x}$ через формулу двойного угла: $$\sin{x} = 2\sin{\frac{x}{2}}\cos{\frac{x}{2}}$$ Тогда уравнение будет выглядеть так: $$\cos{\frac{x}{2}} = 2\sin{\frac{x}{2}}\cos{\frac{x}{2}}$$ Перенесем все в одну сторону: $$2\sin{\frac{x}{2}}\cos{\frac{x}{2}} - \cos{\frac{x}{2}} = 0$$ Вынесем $\cos{\frac{x}{2}}$ за скобки: $$\cos{\frac{x}{2}}(2\sin{\frac{x}{2}} - 1) = 0$$ Теперь у нас есть два случая: 1) $\cos{\frac{x}{2}} = 0$ $\frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$ $x = \pi + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$ 2) $2\sin{\frac{x}{2}} - 1 = 0$ $\sin{\frac{x}{2}} = \frac{1}{2}$ $\frac{x}{2} = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$ или $\frac{x}{2} = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$ $x = \frac{\pi}{3} + 4\pi k$ или $x = \frac{5\pi}{3} + 4\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$ **Ответ:** $x = \pi + 2\pi n$, $x = \frac{\pi}{3} + 4\pi k$, $x = \frac{5\pi}{3} + 4\pi k$, где $n, k \in \mathbb{Z}$ б) Теперь найдем корни, принадлежащие отрезку $[-4\pi; -\pi]$. 1) $x = \pi + 2\pi n$ Подставим разные значения $n$, чтобы найти корни в заданном интервале: $n = -1: x = \pi - 2\pi = -\pi$ $n = -2: x = \pi - 4\pi = -3\pi$ $n = -3: x = \pi - 6\pi = -5\pi$ (не входит в интервал) 2) $x = \frac{\pi}{3} + 4\pi k$ $k = -1: x = \frac{\pi}{3} - 4\pi = -\frac{11\pi}{3}$ $k = -2: x = \frac{\pi}{3} - 8\pi = -\frac{23\pi}{3}$ (не входит в интервал) 3) $x = \frac{5\pi}{3} + 4\pi k$ $k = -1: x = \frac{5\pi}{3} - 4\pi = -\frac{7\pi}{3}$ $k = -2: x = \frac{5\pi}{3} - 8\pi = -\frac{19\pi}{3}$ (не входит в интервал) **Ответ:** $-3\pi, -\pi, -\frac{11\pi}{3}, -\frac{7\pi}{3}$