Реши уравнение $\cos^4(\frac{x}{4}) - \sin^4(\frac{x}{4}) = \sin(x - \frac{\pi}{2})$. Найди все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[\pi; 5\pi]$.

a) Для решения уравнения $\cos^4(\frac{x}{4}) - \sin^4(\frac{x}{4}) = \sin(x - \frac{\pi}{2})$ нужно использовать формулу разности квадратов: $\cos^4(\frac{x}{4}) - \sin^4(\frac{x}{4}) = (\cos^2(\frac{x}{4}) - \sin^2(\frac{x}{4}))(\cos^2(\frac{x}{4}) + \sin^2(\frac{x}{4}))$ Так как $\cos^2(\alpha) + \sin^2(\alpha) = 1$, то выражение упрощается до: $\cos^2(\frac{x}{4}) - \sin^2(\frac{x}{4}) = \cos(\frac{x}{2})$ Также, $\sin(x - \frac{\pi}{2}) = -\cos(x)$. Теперь уравнение можно переписать как: $\cos(\frac{x}{2}) = -\cos(x)$ Используем формулу двойного угла: $\cos(x) = 2\cos^2(\frac{x}{2}) - 1$. $\cos(\frac{x}{2}) = -(2\cos^2(\frac{x}{2}) - 1)$ $\cos(\frac{x}{2}) = -2\cos^2(\frac{x}{2}) + 1$ $2\cos^2(\frac{x}{2}) + \cos(\frac{x}{2}) - 1 = 0$ Введем замену $t = \cos(\frac{x}{2})$. Получаем квадратное уравнение: $2t^2 + t - 1 = 0$ Решаем квадратное уравнение: $D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9$ $t_1 = \frac{-1 + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 + 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ $t_2 = \frac{-1 - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 - 3}{4} = \frac{-4}{4} = -1$ Возвращаемся к замене: 1) $\cos(\frac{x}{2}) = \frac{1}{2}$ $\frac{x}{2} = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$ $x = \pm \frac{2\pi}{3} + 4\pi k, k \in \mathbb{Z}$ 2) $\cos(\frac{x}{2}) = -1$ $\frac{x}{2} = \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$ $x = 2\pi + 4\pi k, k \in \mathbb{Z}$ б) Теперь найдем корни, принадлежащие отрезку $[\pi; 5\pi]$. 1) $x = \pm \frac{2\pi}{3} + 4\pi k$ $k = 0: x = \frac{2\pi}{3}$ (не входит в отрезок), $x = -\frac{2\pi}{3}$ (не входит в отрезок) $k = 1: x = \frac{2\pi}{3} + 4\pi = \frac{14\pi}{3}$ (входит в отрезок), $x = -\frac{2\pi}{3} + 4\pi = \frac{10\pi}{3}$ (входит в отрезок) $k = 2: x = \frac{2\pi}{3} + 8\pi = \frac{26\pi}{3}$ (не входит в отрезок), $x = -\frac{2\pi}{3} + 8\pi = \frac{22\pi}{3}$ (не входит в отрезок) 2) $x = 2\pi + 4\pi k$ $k = 0: x = 2\pi$ (входит в отрезок) $k = 1: x = 2\pi + 4\pi = 6\pi$ (не входит в отрезок) **Ответ:** a) $x = \pm \frac{2\pi}{3} + 4\pi k, k \in \mathbb{Z}$; $x = 2\pi + 4\pi k, k \in \mathbb{Z}$ б) $\frac{10\pi}{3}, \frac{14\pi}{3}, 2\pi$