Ты просишь меня решить уравнение 4cos⁴x - 4cos²x + 1 = 0 и указать корни, принадлежащие отрезку [-2π; -π].

a) Давай решим уравнение $4\cos^4 x - 4\cos^2 x + 1 = 0$. Заметим, что это уравнение можно представить как квадратное относительно $\cos^2 x$. Пусть $y = \cos^2 x$, тогда уравнение примет вид: $4y^2 - 4y + 1 = 0$. Это квадратное уравнение можно свернуть в полный квадрат: $(2y - 1)^2 = 0$. Отсюда находим $y$: $2y - 1 = 0$, $y = \frac{1}{2}$. Теперь вернемся к замене $y = \cos^2 x$: $\cos^2 x = \frac{1}{2}$. Значит, $\cos x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$. Теперь найдем значения $x$: 1) $\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Это происходит при $x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi k$, где $k$ — целое число. 2) $\cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. Это происходит при $x = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi n$, где $n$ — целое число. Итак, решения уравнения: $x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi k$, $x = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi n$, где $k, n$ — целые числа. б) Теперь выберем корни, принадлежащие отрезку $[-2\pi; -\pi]$. Для $x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi k$: - $x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k$. Чтобы попасть в отрезок $[-2\pi; -\pi]$, нужно взять $k = -1$. Тогда $x = \frac{\pi}{4} - 2\pi = -\frac{7\pi}{4}$. - $x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k$. Чтобы попасть в отрезок $[-2\pi; -\pi]$, нужно взять $k = -1$. Тогда $x = -\frac{\pi}{4} - 2\pi = -\frac{9\pi}{4}$. Для $x = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi n$: - $x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n$. Чтобы попасть в отрезок $[-2\pi; -\pi]$, нужно взять $n = -1$. Тогда $x = \frac{3\pi}{4} - 2\pi = -\frac{5\pi}{4}$. - $x = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi n$. Чтобы попасть в отрезок $[-2\pi; -\pi]$, нужно взять $n = -1$. Тогда $x = -\frac{3\pi}{4} - 2\pi = -\frac{11\pi}{4}$. Проверим, какие корни действительно принадлежат отрезку $[-2\pi; -\pi]$: - $-\frac{7\pi}{4} = -1.75\pi$ (принадлежит). - $-\frac{9\pi}{4} = -2.25\pi$ (не принадлежит, так как меньше $-2\pi$). - $-\frac{5\pi}{4} = -1.25\pi$ (принадлежит). - $-\frac{11\pi}{4} = -2.75\pi$ (не принадлежит, так как меньше $-2\pi$). Таким образом, корни, принадлежащие отрезку $[-2\pi; -\pi]$: $-\frac{7\pi}{4}$ и $-\frac{5\pi}{4}$. **Ответ:** a) $x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi k$, $x = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi n$, где $k, n$ — целые числа. б) $-\frac{7\pi}{4}$, $-\frac{5\pi}{4}$.