Решите уравнение $1 - 4\cos^2\left(x - \frac{5\pi}{12}\right) = \sqrt{3}\cos 2x$

а) Решим уравнение $1 - 4\cos^2\left(x - \frac{5\pi}{12}\right) = \sqrt{3}\cos 2x$. Используем формулу понижения степени: $\cos^2\alpha = \frac{1 + \cos 2\alpha}{2}$. $$1 - 4\left(\frac{1 + \cos\left(2x - \frac{5\pi}{6}\right)}{2}\right) = \sqrt{3}\cos 2x$$ $$1 - 2\left(1 + \cos\left(2x - \frac{5\pi}{6}\right)\right) = \sqrt{3}\cos 2x$$ $$1 - 2 - 2\cos\left(2x - \frac{5\pi}{6}\right) = \sqrt{3}\cos 2x$$ $$-1 - 2\cos\left(2x - \frac{5\pi}{6}\right) = \sqrt{3}\cos 2x$$ Разложим $\cos\left(2x - \frac{5\pi}{6}\right)$ по формуле косинуса разности: $\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta$. $$\cos\left(2x - \frac{5\pi}{6}\right) = \cos 2x \cos\frac{5\pi}{6} + \sin 2x \sin\frac{5\pi}{6}$$ Мы знаем, что $\cos\frac{5\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\sin\frac{5\pi}{6} = \frac{1}{2}$. $$\cos\left(2x - \frac{5\pi}{6}\right) = \cos 2x \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \sin 2x \left(\frac{1}{2}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}\cos 2x + \frac{1}{2}\sin 2x$$ Подставим это обратно в уравнение: $$-1 - 2\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\cos 2x + \frac{1}{2}\sin 2x\right) = \sqrt{3}\cos 2x$$ $$-1 + \sqrt{3}\cos 2x - \sin 2x = \sqrt{3}\cos 2x$$ $$-1 - \sin 2x = 0$$ $$\sin 2x = -1$$ Общее решение этого уравнения: $$2x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$ $$x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$ б) Укажем корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-\frac{9\pi}{2}; -3\pi\right]$. Переведём границы отрезка в более удобный вид: $-\frac{9\pi}{2} = -4.5\pi$ $-3\pi$ Ищем такие $n$, для которых: $$-\frac{9\pi}{2} \le -\frac{\pi}{4} + \pi n \le -3\pi$$ Разделим все части на $\pi$: $$-\frac{9}{2} \le -\frac{1}{4} + n \le -3$$ $$ -4.5 \le -0.25 + n \le -3$$ Прибавим $0.25$ ко всем частям: $$-4.5 + 0.25 \le n \le -3 + 0.25$$ $$-4.25 \le n \le -2.75$$ Целые значения $n$ в этом промежутке: $n = -4$ и $n = -3$. При $n = -4$: $$x = -\frac{\pi}{4} + \pi (-4) = -\frac{\pi}{4} - 4\pi = -\frac{\pi}{4} - \frac{16\pi}{4} = -\frac{17\pi}{4}$$ Проверим, принадлежит ли $-17\pi/4$ отрезку $\left[-\frac{9\pi}{2}; -3\pi\right]$: $-4.5\pi = -\frac{18\pi}{4}$ $-3\pi = -\frac{12\pi}{4}$ $- \frac{18\pi}{4} \le -\frac{17\pi}{4} \le -\frac{12\pi}{4}$ (Это верно) При $n = -3$: $$x = -\frac{\pi}{4} + \pi (-3) = -\frac{\pi}{4} - 3\pi = -\frac{\pi}{4} - \frac{12\pi}{4} = -\frac{13\pi}{4}$$ Проверим, принадлежит ли $-13\pi/4$ отрезку $\left[-\frac{9\pi}{2}; -3\pi\right]$: $- \frac{18\pi}{4} \le -\frac{13\pi}{4} \le -\frac{12\pi}{4}$ (Это верно) **Ответ:** **а) $x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$** **б) $-\frac{17\pi}{4}$, $-\frac{13\pi}{4}$