Реши уравнение 2 cos³ x - cos²x + 2cosx− 1 = 0 и укажи корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [2π; 7π/2]

Решим уравнение и найдем корни, принадлежащие заданному отрезку. a) Решим уравнение $2\cos^3 x - \cos^2 x + 2\cos x - 1 = 0$. Сгруппируем слагаемые: $$ (\underbrace{2\cos^3 x - \cos^2 x}_{\text{группа 1}}) + (\underbrace{2\cos x - 1}_{\text{группа 2}}) = 0 $$ Вынесем общий множитель в первой группе: $$\cos^2 x (2\cos x - 1) + (2\cos x - 1) = 0$$ Теперь вынесем общий множитель $(2\cos x - 1)$: $$(2\cos x - 1)(\cos^2 x + 1) = 0$$ Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Рассмотрим каждый случай: 1) $2\cos x - 1 = 0$ $2\cos x = 1$ $\cos x = \frac{1}{2}$ $x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. 2) $\cos^2 x + 1 = 0$ $\cos^2 x = -1$ (нет решений, так как $\cos^2 x$ всегда неотрицателен). Итак, решения уравнения: $x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. б) Теперь найдем корни, принадлежащие отрезку $[2\pi; \frac{7\pi}{2}]$. Подставим различные значения $k$ в общее решение, чтобы найти корни в заданном интервале. 1) $x = \frac{\pi}{3} + 2\pi k$ - Если $k = 1$, то $x = \frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{7\pi}{3}$. Это значение принадлежит отрезку $[2\pi; \frac{7\pi}{2}]$, так как $2\pi \approx 6.28$ и $\frac{7\pi}{3} \approx 7.33$, а $\frac{7\pi}{2} \approx 10.99$. - Если $k = 2$, то $x = \frac{\pi}{3} + 4\pi = \frac{13\pi}{3}$. Это значение не принадлежит отрезку $[2\pi; \frac{7\pi}{2}]$, так как $\frac{13\pi}{3} \approx 13.61$, что больше $\frac{7\pi}{2}$. 2) $x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi k$ - Если $k = 1$, то $x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{5\pi}{3}$. Это значение не принадлежит отрезку $[2\pi; \frac{7\pi}{2}]$, так как $\frac{5\pi}{3} \approx 5.24$, что меньше $2\pi$. - Если $k = 2$, то $x = -\frac{\pi}{3} + 4\pi = \frac{11\pi}{3}$. Это значение принадлежит отрезку $[2\pi; \frac{7\pi}{2}]$, так как $\frac{11\pi}{3} \approx 11.52$. - Если $k = 3$, то $x = -\frac{\pi}{3} + 6\pi = \frac{17\pi}{3}$. Это значение не принадлежит отрезку $[2\pi; \frac{7\pi}{2}]$, так как $\frac{17\pi}{3} \approx 17.80$, что больше $\frac{7\pi}{2}$. Итак, корни, принадлежащие отрезку $[2\pi; \frac{7\pi}{2}]$: $\frac{7\pi}{3}$ и $\frac{11\pi}{3}$. **Ответ:** a) $x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$; б) $\frac{7\pi}{3}$, $\frac{11\pi}{3}$.