2) Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды равно 2√2 см и образует с плоскостью основания пирамиды угол 60°.

Пусть $SABCD$ — правильная четырёхугольная пирамида с основанием $ABCD$ и вершиной $S$. Пусть $O$ — центр основания (точка пересечения диагоналей), $SO$ — высота пирамиды $H$. Боковое ребро $SC = l = 2\sqrt{2}$. Угол между боковым ребром $SC$ и плоскостью основания (это угол $\angle SCO$) равен $60^\circ$. а) В прямоугольном треугольнике $SOC$ ($\angle SOC = 90^\circ$): $H = SO = SC \cdot \sin(60^\circ) = 2\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{6}$ см. $OC = SC \cdot \cos(60^\circ) = 2\sqrt{2} \cdot \frac{1}{2} = \sqrt{2}$ см. Так как $ABCD$ — квадрат, диагональ $AC = 2 \cdot OC = 2\sqrt{2}$. Сторона основания $a$ находится из $a^2 + a^2 = AC^2 = (2\sqrt{2})^2 = 8$, значит $2a^2 = 8$, $a^2 = 4$, $a = 2$ см. б) Площадь боковой поверхности $S_{бок} = 4 \cdot S_{\triangle SBC}$. Найдем апофему $SM$ (высоту боковой грани). В $\triangle SOC$: $OC = \sqrt{2}$. В $\triangle SOM$: $OM$ — половина стороны основания, $OM = a/2 = 1$ см. $SM = \sqrt{SO^2 + OM^2} = \sqrt{(\sqrt{6})^2 + 1^2} = \sqrt{6 + 1} = \sqrt{7}$ см. $S_{бок} = 4 \cdot (\frac{1}{2} \cdot a \cdot SM) = 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{7} = 4\sqrt{7}$ см$^2$. в) Объем пирамиды: $V = \frac{1}{3} \cdot S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot a^2 \cdot H = \frac{1}{3} \cdot 2^2 \cdot \sqrt{6} = \frac{4\sqrt{6}}{3}$ см$^3$. **Ответ:** а) $\sqrt{6}$ см; б) $4\sqrt{7}$ см$^2$; в) $\frac{4\sqrt{6}}{3}$ см$^3$.