Решите уравнение (4cos²(x) - 1)√(49π² - x²) = 0. Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку [20; 25]

А) Решите уравнение $(4\cos^2(x)-1)\sqrt{49\pi^2-x^2}=0$ 1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ) из-за квадратного корня: $49\pi^2 - x^2 \geq 0 \Rightarrow x^2 \leq 49\pi^2 \Rightarrow |x| \leq 7\pi \Rightarrow x \in [-7\pi; 7\pi]$. 2. Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю: а) $\sqrt{49\pi^2 - x^2} = 0 \Rightarrow 49\pi^2 - x^2 = 0 \Rightarrow x^2 = 49\pi^2 \Rightarrow x = \pm 7\pi$. б) $4\cos^2(x) - 1 = 0 \Rightarrow \cos^2(x) = \frac{1}{4} \Rightarrow \cos(x) = \pm \frac{1}{2}$. $x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$. 3. Отберем корни, входящие в ОДЗ $x \in [-7\pi; 7\pi]$: $x = \pm 7\pi$; $x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi k$ при $k \in \{-7, -6, ..., 6\}$. Б) Найдем корни на отрезке $[20; 25]$. Оценим значение $\pi \approx 3,14$: $7\pi \approx 7 \cdot 3,14 = 21,98$. Это значение попадает в отрезок. Проверим серию $x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi k$: При $k = 6$: $x = \frac{\pi}{3} + 6\pi = \frac{19\pi}{3} \approx \frac{19 \cdot 3,14}{3} \approx 19,89$ (не входит). При $k = 7$: $x = -\frac{\pi}{3} + 7\pi = \frac{20\pi}{3} \approx \frac{20 \cdot 3,14}{3} \approx 20,93$ (входит). При $k = 7$: $x = \frac{\pi}{3} + 7\pi = \frac{22\pi}{3} \approx \frac{22 \cdot 3,14}{3} \approx 23,03$ (входит). При $k = 8$: $x = -\frac{\pi}{3} + 8\pi = \frac{23\pi}{3} \approx \frac{23 \cdot 3,14}{3} \approx 24,07$ (входит). При $k = 8$: $x = \frac{\pi}{3} + 8\pi$ — не входит в ОДЗ ($x > 7\pi$). Корни: $7\pi; \frac{20\pi}{3}; \frac{22\pi}{3}; \frac{23\pi}{3}$. **Ответ: А) $\pm 7\pi; \pm \frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}, |x| \leq 7\pi$; Б) $7\pi; \frac{20\pi}{3}; \frac{22\pi}{3}; \frac{23\pi}{3}$.**