2) log_3 (2^{2x} + 2^x) = 2log_9 12;

1. Преобразуем правую часть уравнения, используя свойство логарифма $\log_{a^n} b = \frac{1}{n} \log_a b$: $2 \log_{9} 12 = 2 \log_{3^2} 12 = 2 \cdot \frac{1}{2} \log_{3} 12 = \log_{3} 12$. 2. Теперь уравнение выглядит так: $\log_{3}(2^{2x} + 2^{x}) = \log_{3} 12$. 3. Потенцируем (отбрасываем логарифмы), так как основания равны: $2^{2x} + 2^{x} = 12$. 4. Сделаем замену переменной: пусть $2^x = t$, где $t > 0$. Тогда $2^{2x} = (2^x)^2 = t^2$: $t^2 + t = 12$ $t^2 + t - 12 = 0$. 5. Решим квадратное уравнение через дискриминант или по теореме Виета: $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49 = 7^2$. $t_1 = \frac{-1 + 7}{2} = 3$, $t_2 = \frac{-1 - 7}{2} = -4$. 6. Так как $t = 2^x > 0$, корень $t_2 = -4$ не подходит. Остается $2^x = 3$. 7. Прологарифмируем обе части по основанию 2: $x = \log_{2} 3$. Ответ: $\log_{2} 3$.