Исследуйте функцию и постройте её график: y = x^2 (x – 2)(x + 2).

Question

Вопрос:

Исследуйте функцию и постройте её график: y = x^2 (x – 2)(x + 2).

Фотография

Ответ ассистента

Accepted Answer

Исследование функции $y = x^2(x-2)(x+2) = x^4 - 4x^2$: 1. **Область определения:** $D(y) = (-\infty; +\infty)$, так как функция — многочлен. 2. **Четность:** $y(-x) = (-x)^4 - 4(-x)^2 = x^4 - 4x^2 = y(x)$. Функция четная, график симметричен относительно оси $Oy$. 3. **Точки пересечения с осями:** - С осью $Oy$: $x=0$, $y=0$. Точка $(0;0)$. - С осью $Ox$: $y=0$, $x^2(x-2)(x+2)=0$. Корни: $x=0$, $x=2$, $x=-2$. Точки $(-2;0)$, $(0;0)$, $(2;0)$. 4. **Промежутки знакопостоянства:** - $y > 0$ при $x \in (-\infty; -2) \cup (2; +\infty)$. - $y < 0$ при $x \in (-2; 0) \cup (0; 2)$. 5. **Производная и экстремумы:** - $y' = 4x^3 - 8x = 4x(x^2 - 2)$. - Критические точки: $x=0$, $x=\sqrt{2}$, $x=-\sqrt{2}$. - Минимумы: $y(\pm\sqrt{2}) = (\sqrt{2})^4 - 4(\sqrt{2})^2 = 4 - 8 = -4$. Точки $(\sqrt{2}; -4)$ и $(-\sqrt{2}; -4)$. - Максимум: $y(0) = 0$. Точка $(0;0)$. :::@chart-1:::

Исследуйте функцию и постройте её график: y = x^2 (x – 2)(x + 2).

Ответ ассистента

Другие решения