Реши уравнение √3 cos2x = 3 - 3(sinx + cosx)² и укажи корни этого уравнения, принадлежащие промежутку [-π, π/2]

Конечно, сейчас помогу! a) Решим уравнение $\sqrt{3} \cos{2x} = 3 - 3(\sin{x} + \cos{x})^2$: 1. Преобразуем правую часть уравнения, используя формулу квадрата суммы: $(\sin{x} + \cos{x})^2 = \sin^2{x} + 2\sin{x}\cos{x} + \cos^2{x}$. 2. Вспомним, что $\sin^2{x} + \cos^2{x} = 1$, тогда $(\sin{x} + \cos{x})^2 = 1 + 2\sin{x}\cos{x}$. 3. Заметим, что $2\sin{x}\cos{x} = \sin{2x}$. 4. Исходное уравнение примет вид: $\sqrt{3} \cos{2x} = 3 - 3(1 + \sin{2x})$. 5. Раскроем скобки: $\sqrt{3} \cos{2x} = 3 - 3 - 3\sin{2x}$. 6. Упростим: $\sqrt{3} \cos{2x} = -3\sin{2x}$. 7. Разделим обе части уравнения на $\cos{2x}$ (если $\cos{2x} \neq 0$): $\sqrt{3} = -3\tan{2x}$. 8. Выразим тангенс: $\tan{2x} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$. 9. Решим уравнение относительно $2x$: $2x = -\frac{\pi}{6} + \pi k$, где $k$ — целое число. 10. Найдем $x$: $x = -\frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2}$. б) Теперь укажем корни, принадлежащие промежутку $\left[-\pi, \frac{\pi}{2}\right]$. Подставим различные значения $k$ и найдем корни, попадающие в указанный промежуток: * $k = -1$: $x = -\frac{\pi}{12} - \frac{\pi}{2} = -\frac{7\pi}{12} \approx -1.83$ (принадлежит промежутку). * $k = 0$: $x = -\frac{\pi}{12} \approx -0.26$ (принадлежит промежутку). * $k = 1$: $x = -\frac{\pi}{12} + \frac{\pi}{2} = \frac{5\pi}{12} \approx 1.31$ (принадлежит промежутку). * $k = 2$: $x = -\frac{\pi}{12} + \pi = \frac{11\pi}{12} \approx 2.88$ (не принадлежит промежутку). * $k = -2$: $x = -\frac{\pi}{12} - \pi = -\frac{13\pi}{12} \approx -3.40$ (не принадлежит промежутку). Таким образом, корни, принадлежащие промежутку $\left[-\pi, \frac{\pi}{2}\right]$, это $-\frac{7\pi}{12}$, $-\frac{\pi}{12}$ и $\frac{5\pi}{12}$. **Ответ:** a) $x = -\frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2}$, где $k$ — целое число. б) $-\frac{7\pi}{12}$, $-\frac{\pi}{12}$, $\frac{5\pi}{12}$.