В прямоугольном параллелепипеде стороны основания равны 3 см и 8 см. Диагональ параллелепипеда образует с плоскостью основания угол в 45 градусов. Найдите боковое ребро параллелепипеда.

8) **Ответ: $b = \sqrt{73}$ см** 1. Найдем диагональ основания $d$ по теореме Пифагора: $$d = \sqrt{3^2 + 8^2} = \sqrt{9 + 64} = \sqrt{73}$$ 2. Боковое ребро $b$ (высота) образует с диагональю основания прямоугольный треугольник. Так как угол между диагональю параллелепипеда и плоскостью основания равен $45^\circ$, треугольник равнобедренный: $$b = d = \sqrt{73}$$ 9) **Ответ: $S_{бок} = 48$ см²; $S_{полн} = 48 + 12\sqrt{3}$ см²** 1. Площадь боковой поверхности: $$S_{бок} = P_{осн} \cdot h = (6 \cdot 2) \cdot 4 = 48$$ 2. Площадь основания (правильный шестиугольник): $$S_{осн} = \frac{3\sqrt{3}}{2} a^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 2^2 = 6\sqrt{3}$$ 3. Полная площадь: $$S_{полн} = S_{бок} + 2S_{осн} = 48 + 2 \cdot 6\sqrt{3} = 48 + 12\sqrt{3}$$ 10) **Ответ: $h = 2\sqrt{14}$ см; $S_{осн} = 12,5$ см²** 1. Высота $h$ из прямоугольного треугольника с диагональю параллелепипеда и диагональю основания: $$h = \sqrt{d^2 - d_o^2} = \sqrt{9^2 - 5^2} = \sqrt{81 - 25} = \sqrt{56} = 2\sqrt{14}$$ 2. Так как в основании квадрат, его площадь через диагональ $d_o$: $$S_{осн} = \frac{d_o^2}{2} = \frac{5^2}{2} = \frac{25}{2} = 12,5$$ 11) **Ответ: $S_{бок} = 144$ см²; $S_{полн} = 224$ см²** 1. Площадь боковой поверхности усечённой пирамиды: $$S_{бок} = \frac{P_1 + P_2}{2} \cdot h_a = \frac{4\cdot8 + 4\cdot4}{2} \cdot 6 = \frac{32 + 16}{2} \cdot 6 = 24 \cdot 6 = 144$$ 2. Полная площадь: $$S_{полн} = S_{бок} + S_1 + S_2 = 144 + 8^2 + 4^2 = 144 + 64 + 16 = 224$$ 12) **Ответ: $S_{бок} = 48 + 4\sqrt{61}$ см²** 1. Грани $ADB$ и $ADC$ — прямоугольные треугольники ($AD \perp AB, AD \perp AC$): $$S_{ADB} = S_{ADC} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 10 = 30$$ 2. В грани $DBC$ проведем высоту $DK$. Сначала найдем высоту $AK$ в $\triangle ABC$. $AK = \sqrt{AB^2 - (BC/2)^2} = \sqrt{10^2 - 4^2} = \sqrt{84} = 2\sqrt{21}$. 3. По теореме о трех перпендикулярах $DK \perp BC$. $DK = \sqrt{AD^2 + AK^2} = \sqrt{6^2 + (2\sqrt{21})^2} = \sqrt{36 + 84} = \sqrt{120} = 2\sqrt{30}$. **Допущение:** Для упрощения школьного уровня часто ищут сумму площадей граней, прилежащих к высоте. Найдем площадь третьей грани $DBC$: $$S_{DBC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot DK = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 2\sqrt{30} = 8\sqrt{30}$$ $$S_{бок} = 30 + 30 + 8\sqrt{30} = 60 + 8\sqrt{30}$$ 13) **Ответ: $S_{полн} = 16\sqrt{3}$ см²** Формула полной поверхности правильного тетраэдра: $$S_{полн} = a^2\sqrt{3} = 4^2\sqrt{3} = 16\sqrt{3}$$