Самостоятельная работа 13. Задача 1. Диагональ куба равна 12 см. Найдите площадь полной поверхности куба.

Для решения задач по геометрии используем формулы для куба, параллелепипеда и пирамиды. **Задача 1** Пусть $a$ — ребро куба, $d$ — диагональ. Формулы: $d = a\sqrt{3}$, $S_{полн} = 6a^2$. 1. $a = \frac{d}{\sqrt{3}} = \frac{12}{\sqrt{3}} = 4\sqrt{3}$ см. 2. $S_{полн} = 6 \cdot (4\sqrt{3})^2 = 6 \cdot 16 \cdot 3 = 288$ см². **Ответ: 288 см²** **Задача 2** 1. $S_{полн} = 6a^2 \Rightarrow 384 = 6a^2 \Rightarrow a^2 = 64 \Rightarrow a = 8$ см. 2. $d = a\sqrt{3} = 8\sqrt{3}$ см. **Ответ: 8√3 см** **Задача 3** Пусть $a$ — ребро. $6(a+4)^2 = 6a^2 + 240$. 1. $(a+4)^2 = a^2 + 40 \Rightarrow a^2 + 8a + 16 = a^2 + 40$. 2. $8a = 24 \Rightarrow a = 3$ см. **Ответ: 3 см** **Задача 4** Пирамида: $a=6$, апофема $l=5$. 1. $S_{осн} = a^2 = 6^2 = 36$ см². 2. $S_{бок} = \frac{1}{2} P \cdot l = \frac{1}{2} (4 \cdot 6) \cdot 5 = 60$ см². 3. $S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = 36 + 60 = 96$ см². **Ответ: 36 см², 60 см², 96 см²** **Задача 5** Размеры: $a=5$, $b=8$, $h=10$. Нет верхней крышки. $S_{внеш} = S_{осн} + P \cdot h = (5 \cdot 8) + 2(5 + 8) \cdot 10 = 40 + 260 = 300$ см². **Ответ: 300 см²** **Задача 6** $a=7, b=9, c - ?$ $2(ab + bc + ac) = 478 \Rightarrow 7 \cdot 9 + 9c + 7c = 239$. $63 + 16c = 239 \Rightarrow 16c = 176 \Rightarrow c = 11$ см. **Ответ: 11 см** **Задача 7** $a=5, b=10, c=20$. 1. $d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2} = \sqrt{25 + 100 + 400} = \sqrt{525} = 5\sqrt{21}$ см. 2. $S_{полн} = 2(5 \cdot 10 + 10 \cdot 20 + 5 \cdot 20) = 2(50 + 200 + 100) = 700$ см². **Ответ: 5√21 см, 700 см²** **Задача 8** $D=15, h=10, a=5$. $D^2 = a^2 + b^2 + h^2 \Rightarrow 225 = 25 + b^2 + 100$. $b^2 = 100 \Rightarrow b = 10$ см. **Ответ: 10 см** **Задача 9** Пирамида: $H=10$, диагональ осн. $d_{осн}=16$. Половина диагонали $r = 8$. Боковое ребро $L = \sqrt{H^2 + r^2} = \sqrt{100 + 64} = \sqrt{164} = 2\sqrt{41}$ см. **Ответ: 2√41 см** **Задача 10** $H=21, d_{осн}=20, r=10$. $L = \sqrt{21^2 + 10^2} = \sqrt{441 + 100} = \sqrt{541}$ см. **Ответ: √541 см** **Задача 11** Треугольная пирамида: $a=8, l=11$. $S_{бок} = \frac{1}{2} P \cdot l = \frac{1}{2} (3 \cdot 8) \cdot 11 = 12 \cdot 11 = 132$ см². **Ответ: 132 см²** **Задача 12** $L=20, d_{осн}=24, r=12$. $H = \sqrt{L^2 - r^2} = \sqrt{20^2 - 12^2} = \sqrt{400 - 144} = \sqrt{256} = 16$ см. **Ответ: 16 см**