Через два противолежащих ребра куба проведено сечение, площадь которого равна 64√2 см². Найдите ребро куба и его диагональ.

**Ответ: Ребро куба — 8 см, диагональ куба — $8\sqrt{3}$ см.** **Решение:** 1. Сечение куба, проходящее через два противолежащих (параллельных) ребра, является прямоугольником. Одной стороной этого прямоугольника является ребро куба $a$, а другой — диагональ грани куба $d_{грани}$. 2. По теореме Пифагора диагональ квадрата (грани куба) со стороной $a$ равна: $d_{грани} = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$ 3. Площадь сечения $S$ вычисляется как произведение его сторон: $S = a \cdot d_{грани} = a \cdot a\sqrt{2} = a^2\sqrt{2}$ 4. По условию $S = 64\sqrt{2}$ см², составим уравнение: $a^2\sqrt{2} = 64\sqrt{2}$ $a^2 = 64$ $a = \sqrt{64} = 8$ (см) — ребро куба. 5. Диагональ куба $D$ вычисляется по формуле $D = a\sqrt{3}$: $D = 8\sqrt{3}$ (см).