а) Решите уравнение 2 cos²(3π/2 + x) + √3 sin x = 0. б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [5π/2; 4π].

**Ответ:** а) $x = \pi k$, $x = (-1)^{k+1}\frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$ б) $3\pi$; $4\pi$; $\frac{11\pi}{3}$ **Решение:** а) Решим уравнение $2 \cos^2 \left( \frac{3\pi}{2} + x \right) + \sqrt{3} \sin x = 0$. 1. Используем формулу приведения: $\cos(\frac{3\pi}{2} + x) = \sin x$. Тогда $\cos^2(\frac{3\pi}{2} + x) = \sin^2 x$. 2. Уравнение принимает вид: $2 \sin^2 x + \sqrt{3} \sin x = 0$. 3. Вынесем $\sin x$ за скобки: $\sin x (2 \sin x + \sqrt{3}) = 0$. 4. Получаем два случая: - $\sin x = 0 \Rightarrow x = \pi k, k \in \mathbb{Z}$ - $2 \sin x + \sqrt{3} = 0 \Rightarrow \sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow x = (-1)^k \arcsin\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \pi k = (-1)^{k+1}\frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$ б) Отберем корни на отрезке $\left[ \frac{5\pi}{2}; 4\pi \right]$: 1. Для серии $x = \pi k$: - $k = 3 \Rightarrow x = 3\pi$ (входит, так как $2,5\pi < 3\pi < 4\pi$) - $k = 4 \Rightarrow x = 4\pi$ (входит, край отрезка) 2. Для серии $x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi k$ и $x = \frac{4\pi}{3} + 2\pi k$: - При $k = 1$: $x = \frac{5\pi}{3} \approx 1,67\pi$ (не входит) - При $k = 2$: $x = -\frac{\pi}{3} + 4\pi = \frac{11\pi}{3} = 3\frac{2}{3}\pi$ (входит, так as $2,5\pi < 3,67\pi < 4\pi$) - $x = \frac{4\pi}{3} + 2\pi = \frac{10\pi}{3} = 3\frac{1}{3}\pi$ (входит, так как $2,5\pi < 3,33\pi < 4\pi$) **Замечание:** корни $3\pi$, $\frac{10\pi}{3}$, $\frac{11\pi}{3}$ и $4\pi$ упорядочены по возрастанию.