а) Решите уравнение $2 \sin x \cos x + \sqrt{2} \sin \left(\frac{\pi}{2} - x\right) = 0$.

а) Решим уравнение: Используем формулу двойного угла $\sin(2x) = 2 \sin x \cos x$ и формулу приведения $\sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \cos x$. Тогда исходное уравнение примет вид: $$ \sin(2x) + \sqrt{2} \cos x = 0 $$ Распишем $\sin(2x)$ как $2 \sin x \cos x$: $$ 2 \sin x \cos x + \sqrt{2} \cos x = 0 $$ Вынесем $\cos x$ за скобки: $$ \cos x (2 \sin x + \sqrt{2}) = 0 $$ Это уравнение распадается на два случая: 1) $$\cos x = 0$$ $$ x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $$ 2) $$ 2 \sin x + \sqrt{2} = 0 $$ $$ 2 \sin x = -\sqrt{2} $$ $$ \sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2} $$ Корни этого уравнения: $$ x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $$ $$ x = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $$ **Ответ:** $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, $x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n$, $x = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. б) Укажем корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-2\pi; -\frac{\pi}{2}\right]$. Рассмотрим каждый набор решений: 1) $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$ При $n = -2$: $x = \frac{\pi}{2} - 2\pi = -\frac{3\pi}{2}$. Это значение входит в отрезок $\left[-2\pi; -\frac{\pi}{2}\right]$. При $n = -1$: $x = \frac{\pi}{2} - \pi = -\frac{\pi}{2}$. Это значение входит в отрезок $\left[-2\pi; -\frac{\pi}{2}\right]$. 2) $x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n$ При $n = -1$: $x = -\frac{\pi}{4} - 2\pi = -\frac{9\pi}{4}$. Это значение не входит в отрезок. При $n = 0$: $x = -\frac{\pi}{4}$. Это значение не входит в отрезок. 3) $x = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi n$ При $n = -1$: $x = -\frac{3\pi}{4} - 2\pi = -\frac{11\pi}{4}$. Это значение не входит в отрезок. При $n = 0$: $x = -\frac{3\pi}{4}$. Это значение входит в отрезок $\left[-2\pi; -\frac{\pi}{2}\right]$. Корни, принадлежащие указанному отрезку: $-2\pi = -\frac{8\pi}{4}$ $-\frac{\pi}{2} = -\frac{2\pi}{4}$ Проверим найденные корни: $- \frac{3\pi}{2} = - \frac{6\pi}{4}$. Это значение находится между $- \frac{8\pi}{4}$ и $- \frac{2\pi}{4}$. $- \frac{\pi}{2} = - \frac{2\pi}{4}$. Это значение совпадает с правой границей отрезка. $- \frac{3\pi}{4}$. Это значение находится между $- \frac{8\pi}{4}$ и $- \frac{2\pi}{4}$. **Ответ:** $- \frac{3\pi}{2}$, $- \frac{\pi}{2}$, $- \frac{3\pi}{4}$.