Даны точки А (-3; 1), В (1; -2) и С (-1; 0). Найдите координаты векторов AB и AC; модули векторов AB и AC; координаты вектора MK = 2AB - 3AC.

### Задание 1 Дано: $A(-3; 1)$, $B(1; -2)$, $C(-1; 0)$. 1) Координаты вектора находятся как разность координат конца и начала: $\vec{AB} = (1 - (-3); -2 - 1) = (4; -3)$ $\vec{AC} = (-1 - (-3); 0 - 1) = (2; -1)$ 2) Модуль (длина) вектора $\vec{a}(x; y)$ вычисляется по формуле $|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2}$: $|\vec{AB}| = \sqrt{4^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$ $|\vec{AC}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}$ 3) Координаты вектора $\vec{MK} = 2\vec{AB} - 3\vec{AC}$: $2\vec{AB} = (2 \cdot 4; 2 \cdot (-3)) = (8; -6)$ $3\vec{AC} = (3 \cdot 2; 3 \cdot (-1)) = (6; -3)$ $\vec{MK} = (8 - 6; -6 - (-3)) = (2; -3)$ **Ответ: 1) $\vec{AB}(4; -3)$, $\vec{AC}(2; -1)$; 2) $|\vec{AB}|=5$, $|\vec{AC}|=\sqrt{5}$; 3) $\vec{MK}(2; -3)$.** ### Задание 2 Для построения используем правила треугольника и параллелограмма: 1) $\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$ (по правилу треугольника: начало второго вектора совпадает с концом первого, результат — вектор из начала первого в конец второго). 2) $\vec{AC} - \vec{AB} = \vec{BC}$ (по правилу вычитания: векторы исходят из одной точки, результат направлен от вычитаемого к уменьшаемому). 3) $\vec{CA} + \vec{CB}$: строим параллелограмм на этих векторах, сумма — диагональ, выходящая из точки $C$. ### Задание 3 Дано: параллелограмм $ABCD$, $\vec{AB} = \vec{a}$, $\vec{AD} = \vec{b}$. Точка $M$ на $BC$: $BM : MC = 2 : 5 \Rightarrow BM = \frac{2}{7} BC$. Так как $\vec{BC} = \vec{AD} = \vec{b}$, то $\vec{BM} = \frac{2}{7} \vec{b}$. Точка $P$ на $CD$: $CP : PD = 3 : 1 \Rightarrow CP = \frac{3}{4} CD$. Так как $\vec{CD} = -\vec{AB} = -\vec{a}$, то $\vec{CP} = -\frac{3}{4} \vec{a}$. Выразим $\vec{MP}$ через сумму векторов по ломаной $M \rightarrow C \rightarrow P$: $\vec{MP} = \vec{MC} + \vec{CP}$ Так как $MC = \frac{5}{7} BC$, то $\vec{MC} = \frac{5}{7} \vec{b}$. $\vec{MP} = \frac{5}{7} \vec{b} + (-\frac{3}{4} \vec{a}) = -\frac{3}{4} \vec{a} + \frac{5}{7} \vec{b}$ **Ответ: $\vec{MP} = -0,75\vec{a} + \frac{5}{7}\vec{b}$.**