Даны точки A(1; 5), B(-3; 2) и C(2; 3). Найдите: 1) координаты векторов CA и CB; 2) модули векторов CA и CB; 3) координаты вектора DM = 3CA - 4CB; 4) скалярное произведение векторов CA и CB; 5) косинус угла между векторами CA и CB.

**№ 1.** Даны точки $A(1; 5)$, $B(-3; 2)$ и $C(2; 3)$. 1) Координаты векторов $\vec{CA}$ и $\vec{CB}$: $\vec{CA} = (x_A - x_C; y_A - y_C) = (1 - 2; 5 - 3) = (-1; 2)$ $\vec{CB} = (x_B - x_C; y_B - y_C) = (-3 - 2; 2 - 3) = (-5; -1)$ **Ответ: $\vec{CA}(-1; 2)$, $\vec{CB}(-5; -1)$** 2) Модули векторов $\vec{CA}$ и $\vec{CB}$: $|\vec{CA}| = \sqrt{(-1)^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$ $|\vec{CB}| = \sqrt{(-5)^2 + (-1)^2} = \sqrt{25 + 1} = \sqrt{26}$ **Ответ: $|\vec{CA}| = \sqrt{5}$, $|\vec{CB}| = \sqrt{26}$** 3) Координаты вектора $\vec{DM} = 3\vec{CA} - 4\vec{CB}$: $3\vec{CA} = (3 \cdot (-1); 3 \cdot 2) = (-3; 6)$ $4\vec{CB} = (4 \cdot (-5); 4 \cdot (-1)) = (-20; -4)$ $\vec{DM} = (-3 - (-20); 6 - (-4)) = (17; 10)$ **Ответ: $\vec{DM}(17; 10)$** 4) Скалярное произведение векторов $\vec{CA}$ и $\vec{CB}$: $\vec{CA} \cdot \vec{CB} = (-1) \cdot (-5) + 2 \cdot (-1) = 5 - 2 = 3$ **Ответ: 3** 5) Косинус угла между векторами $\vec{CA}$ и $\vec{CB}$: $\cos \alpha = \frac{\vec{CA} \cdot \vec{CB}}{|\vec{CA}| \cdot |\vec{CB}|} = \frac{3}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{26}} = \frac{3}{\sqrt{130}}$ **Ответ: $\frac{3}{\sqrt{130}}$** **№ 3.** Даны векторы $\vec{a}(x; 10)$ и $\vec{b}(-5; 4)$. 1) Векторы коллинеарны, если их координаты пропорциональны: $\frac{x}{-5} = \frac{10}{4} \Rightarrow 4x = -50 \Rightarrow x = -12,5$ **Ответ: $x = -12,5$** 2) Векторы перпендикулярны, если их скалярное произведение равно 0: $\vec{a} \cdot \vec{b} = x \cdot (-5) + 10 \cdot 4 = 0$ $-5x + 40 = 0 \Rightarrow 5x = 40 \Rightarrow x = 8$ **Ответ: $x = 8$** **№ 5.** Найдите косинус угла между векторами $\vec{m} = 3\vec{a} - \vec{b}$ и $\vec{n} = \vec{a} + 4\vec{b}$, если $\vec{a} \perp \vec{b}$ и $|\vec{a}| = |\vec{b}| = 1$. Так как $\vec{a} \perp \vec{b}$, то $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$. Так как $|\vec{a}| = |\vec{b}| = 1$, то $\vec{a}^2 = 1$ и $\vec{b}^2 = 1$. 1) $\vec{m} \cdot \vec{n} = (3\vec{a} - \vec{b})(\vec{a} + 4\vec{b}) = 3\vec{a}^2 + 12\vec{a}\vec{b} - \vec{b}\vec{a} - 4\vec{b}^2 = 3(1) + 0 - 0 - 4(1) = -1$ 2) $|\vec{m}| = \sqrt{(3\vec{a} - \vec{b})^2} = \sqrt{9\vec{a}^2 - 6\vec{a}\vec{b} + \vec{b}^2} = \sqrt{9 + 0 + 1} = \sqrt{10}$ 3) $|\vec{n}| = \sqrt{(\vec{a} + 4\vec{b})^2} = \sqrt{\vec{a}^2 + 8\vec{a}\vec{b} + 16\vec{b}^2} = \sqrt{1 + 0 + 16} = \sqrt{17}$ 4) $\cos \phi = \frac{\vec{m} \cdot \vec{n}}{|\vec{m}| \cdot |\vec{n}|} = \frac{-1}{\sqrt{10} \cdot \sqrt{17}} = -\frac{1}{\sqrt{170}}$ **Ответ: $-\frac{1}{\sqrt{170}}$**