Даны точки A(-3; 1), B(1; -2) и C(-1; 0). Найдите: координаты векторов, модули векторов, скалярное произведение и косинус угла.

**Ответ:** **1.** Даны точки $A(-3; 1)$, $B(1; -2)$ и $C(-1; 0)$. 1) Координаты векторов $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$: Чтобы найти координаты вектора, нужно из координат конца вычесть координаты начала. $\vec{AB} = (1 - (-3); -2 - 1) = \mathbf{(4; -3)}$ $\vec{AC} = (-1 - (-3); 0 - 1) = \mathbf{(2; -1)}$ 2) Модули векторов $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$: $|\vec{AB}| = \sqrt{4^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = \mathbf{5}$ $|\vec{AC}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 1} = \mathbf{\sqrt{5}}$ 3) Координаты вектора $\vec{MK} = 2\vec{AB} - 3\vec{AC}$: $2\vec{AB} = (2 \cdot 4; 2 \cdot (-3)) = (8; -6)$ $3\vec{AC} = (3 \cdot 2; 3 \cdot (-1)) = (6; -3)$ $\vec{MK} = (8 - 6; -6 - (-3)) = (2; -6 + 3) = \mathbf{(2; -3)}$ 4) Скалярное произведение векторов $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$: $\vec{AB} \cdot \vec{AC} = x_1x_2 + y_1y_2 = 4 \cdot 2 + (-3) \cdot (-1) = 8 + 3 = \mathbf{11}$ 5) Косинус угла между векторами $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$: $\cos \alpha = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{AC}}{|\vec{AB}| \cdot |\vec{AC}|} = \frac{11}{5 \cdot \sqrt{5}} = \mathbf{\frac{11\sqrt{5}}{25}}$ **2.** Построение векторов в треугольнике $ABC$: 1) $\vec{AB} + \vec{BC} = \mathbf{\vec{AC}}$ (по правилу треугольника: сумма векторов, где конец первого совпадает с началом второго, равна вектору от начала первого к концу второго). 2) $\vec{AC} - \vec{AB} = \mathbf{\vec{BC}}$ (по правилу вычитания: разность векторов с общим началом равна вектору, идущему из конца вычитаемого в конец уменьшаемого). 3) $\vec{CA} + \vec{CB}$: строим по правилу параллелограмма. Сумма будет равна вектору $\mathbf{\vec{CD}}$, где $D$ — вершина параллелограмма $CADB$.