Даны точки A (3; -2), B (1; -1) и C (-1; 1). Найдите координаты векторов BA и BC, модули, скалярное произведение и косинус угла.

1. Даны точки $A(3; -2)$, $B(1; -1)$ и $C(-1; 1)$. 1) Координаты векторов $\overrightarrow{BA}$ и $\overrightarrow{BC}$: $\overrightarrow{BA} = (3-1; -2-(-1)) = (2; -1)$ $\overrightarrow{BC} = (-1-1; 1-(-1)) = (-2; 2)$ 2) Модули векторов: $|\overrightarrow{BA}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2} = \sqrt{4+1} = \sqrt{5}$ $|\overrightarrow{BC}| = \sqrt{(-2)^2 + 2^2} = \sqrt{4+4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ 3) Координаты вектора $\overrightarrow{MP} = 4\overrightarrow{BA} - \overrightarrow{BC}$: $\overrightarrow{MP} = 4 \cdot (2; -1) - (-2; 2) = (8; -4) - (-2; 2) = (8 - (-2); -4 - 2) = (10; -6)$ 4) Скалярное произведение $\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC}$: $\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC} = 2 \cdot (-2) + (-1) \cdot 2 = -4 - 2 = -6$ 5) Косинус угла между векторами $\overrightarrow{BA}$ и $\overrightarrow{BC}$: $\cos \alpha = \frac{\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{BA}| \cdot |\overrightarrow{BC}|} = \frac{-6}{\sqrt{5} \cdot 2\sqrt{2}} = \frac{-6}{2\sqrt{10}} = -\frac{3}{\sqrt{10}} = -\frac{3\sqrt{10}}{10}$ 2. Построение векторов (правило треугольника и параллелограмма): 1) $\overrightarrow{CA} + \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CB}$ (по правилу треугольника: конец первого совпадает с началом второго). 2) $\overrightarrow{BC} - \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{AC}$ (разность векторов с общим началом — это вектор от конца вычитаемого к концу уменьшаемого). 3) $\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC}$: строится по правилу параллелограмма от точки $B$, результат — диагональ. 3. Даны $\vec{m}(2; p)$ и $\vec{n}(9; -3)$. 1) Коллинеарны, если координаты пропорциональны: $\frac{2}{9} = \frac{p}{-3} \Rightarrow 9p = -6 \Rightarrow p = -\frac{6}{9} = -\frac{2}{3}$ 2) Перпендикулярны, если скалярное произведение равно 0: $2 \cdot 9 + p \cdot (-3) = 0 \Rightarrow 18 - 3p = 0 \Rightarrow 3p = 18 \Rightarrow p = 6$ **Ответ: 1.1) (2; -1), (-2; 2); 1.2) $\sqrt{5}$, $2\sqrt{2}$; 1.3) (10; -6); 1.4) -6; 1.5) $-0,3\sqrt{10}$. 3.1) $p = -\frac{2}{3}$; 3.2) $p = 6$.**