Даны точки A(-3; 1), B(1; -2) и C(-1; 0). Найдите: координаты векторов, модули векторов, координаты вектора MK, скалярное произведение и косинус угла.

**Ответ:** 1) $\vec{AB}(4; -3)$, $\vec{AC}(2; -1)$ 2) $|\vec{AB}| = 5$, $|\vec{AC}| = \sqrt{5}$ 3) $\vec{MK}(2; -3)$ 4) $\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 11$ 5) $\cos(\widehat{\vec{AB}, \vec{AC}}) = \frac{11\sqrt{5}}{25}$ **Решение:** Даны точки: $A(-3; 1)$, $B(1; -2)$, $C(-1; 0)$. 1) **Координаты векторов** находим по формуле $(x_2 - x_1; y_2 - y_1)$: $\vec{AB} = (1 - (-3); -2 - 1) = (4; -3)$ $\vec{AC} = (-1 - (-3); 0 - 1) = (2; -1)$ 2) **Модуль (длина) вектора** $|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2}$: $|\vec{AB}| = \sqrt{4^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$ $|\vec{AC}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}$ 3) **Координаты вектора** $\vec{MK} = 2\vec{AB} - 3\vec{AC}$: $2\vec{AB} = (2 \cdot 4; 2 \cdot (-3)) = (8; -6)$ $3\vec{AC} = (3 \cdot 2; 3 \cdot (-1)) = (6; -3)$ $\vec{MK} = (8 - 6; -6 - (-3)) = (2; -3)$ 4) **Скалярное произведение** $\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2$: $\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 4 \cdot 2 + (-3) \cdot (-1) = 8 + 3 = 11$ 5) **Косинус угла** $\cos \alpha = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$: $\cos \alpha = \frac{11}{5 \cdot \sqrt{5}} = \frac{11}{5\sqrt{5}}$ Избавимся от иррациональности в знаменателе: $\frac{11\sqrt{5}}{5 \cdot 5} = \frac{11\sqrt{5}}{25}$