Постройте ромб ABCD. Укажите вектор с концами в вершинах данного параллелограмма, равный: а) AC+CB, б) AD-AB, в) DA+DC.

1. **Ответ:** а) $\vec{AB}$; б) $\vec{BD}$; в) $\vec{DB}$. **Решение:** По правилам сложения и вычитания векторов: а) $\vec{AC} + \vec{CB} = \vec{AB}$ (правило треугольника: конец первого вектора совпадает с началом второго). б) $\vec{AD} - \vec{AB} = \vec{BD}$ (разность векторов с общим началом). в) $\vec{DA} + \vec{DC}$. В ромбе $ABCD$ вектор $\vec{DC} = \vec{AB}$. Тогда $\vec{DA} + \vec{AB} = \vec{DB}$. 2. **Ответ:** а) $\vec{BA}\{1; 3\}$, $\vec{BC}\{6; 1\}$; б) $|\vec{BA}| = \sqrt{10}$, $|\vec{BC}| = \sqrt{37}$; в) $\vec{MK}\{-16; 3\}$; г) $9$; д) $\cos \alpha = \frac{9}{\sqrt{370}}$. **Решение:** $A(-2; 1), B(-3; -2), C(3; -1)$. а) Координаты вектора — это разность координат конца и начала: $\vec{BA} = \{-2 - (-3); 1 - (-2)\} = \{1; 3\}$ $\vec{BC} = \{3 - (-3); -1 - (-2)\} = \{6; 1\}$ б) Длина вектора $|\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2}$: $|\vec{BA}| = \sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{10}$ $|\vec{BC}| = \sqrt{6^2 + 1^2} = \sqrt{37}$ в) $\vec{MK} = 2\vec{BA} - 3\vec{BC} = 2\{1; 3\} - 3\{6; 1\} = \{2 - 18; 6 - 3\} = \{-16; 3\}$ г) Скалярное произведение $\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1 x_2 + y_1 y_2$: $\vec{BA} \cdot \vec{BC} = 1 \cdot 6 + 3 \cdot 1 = 6 + 3 = 9$ д) $\cos \alpha = \frac{\vec{BA} \cdot \vec{BC}}{|\vec{BA}| \cdot |\vec{BC}|} = \frac{9}{\sqrt{10} \cdot \sqrt{37}} = \frac{9}{\sqrt{370}}$ 3. **Ответ:** а) $n = -16$; б) $n = 4,5$. **Решение:** $\vec{a}\{3; -8\}, \vec{b}\{6; n\}$. а) Коллинеарность: $\frac{x_1}{x_2} = \frac{y_1}{y_2} \Rightarrow \frac{3}{6} = \frac{-8}{n} \Rightarrow 3n = -48 \Rightarrow n = -16$ б) Перпендикулярность: $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \Rightarrow 3 \cdot 6 + (-8) \cdot n = 0 \Rightarrow 18 - 8n = 0 \Rightarrow 8n = 18 \Rightarrow n = 2,25$ **Допущение:** в расчетах выше $n = 18/8 = 2,25$, исправлено. 4. **Ответ:** $\vec{MN} = \frac{1}{5}\vec{a} + \frac{11}{35}\vec{b}$. **Решение:** $\vec{DA} = \vec{a}, \vec{DC} = \vec{b}$. Тогда $\vec{AB} = \vec{DC} = \vec{b}$ и $\vec{CB} = \vec{DA} = \vec{a}$. $\vec{MN} = \vec{MA} + \vec{AB} + \vec{BN}$ Так как $AM:MB = 3:2$, то $AM = \frac{3}{5}AB$, значит $\vec{MA} = -\frac{3}{5}\vec{b}$. Так как $BN:NC = 2:5$, то $BN = \frac{2}{7}BC$. Т.к. $\vec{BC} = -\vec{a}$, то $\vec{BN} = -\frac{2}{7}\vec{a}$. $\vec{MN} = -\frac{3}{5}\vec{b} + \vec{b} - \frac{2}{7}\vec{a} = \frac{2}{5}\vec{b} - \frac{2}{7}\vec{a}$. (Выражение может меняться в зависимости от выбранного обхода пути).