Решите уравнения, сделав замену: а) 4x⁴ - 65x² + 16 = 0; б) 8x⁶ + 65x³ + 8 = 0; в) x - 2√x - 8 = 0; г) 3x² - 26|x| - 9 = 0.

Для решения этих уравнений мы будем использовать метод введения новой переменной. **а) $4x^4 - 65x^2 + 16 = 0$** Пусть $x^2 = t$, где $t \ge 0$. Тогда уравнение примет вид: $4t^2 - 65t + 16 = 0$ $D = (-65)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 16 = 4225 - 256 = 3969 = 63^2$ $t_1 = \frac{65 + 63}{8} = 16; \quad t_2 = \frac{65 - 63}{8} = \frac{2}{8} = 0,25$ Обратная замена: 1) $x^2 = 16 \Rightarrow x_{1,2} = \pm 4$ 2) $x^2 = 0,25 \Rightarrow x_{3,4} = \pm 0,5$ **Ответ: -4; -0,5; 0,5; 4.** **б) $8x^6 + 65x^3 + 8 = 0$** Пусть $x^3 = t$. Тогда уравнение примет вид: $8t^2 + 65t + 8 = 0$ $D = 65^2 - 4 \cdot 8 \cdot 8 = 4225 - 256 = 3969 = 63^2$ $t_1 = \frac{-65 + 63}{16} = -\frac{2}{16} = -0,125; \quad t_2 = \frac{-65 - 63}{16} = -8$ Обратная замена: 1) $x^3 = -0,125 \Rightarrow x_1 = -0,5$ 2) $x^3 = -8 \Rightarrow x_2 = -2$ **Ответ: -2; -0,5.** **в) $x - 2\sqrt{x} - 8 = 0$** Пусть $\sqrt{x} = t$, где $t \ge 0$. Тогда уравнение примет вид: $t^2 - 2t - 8 = 0$ По теореме Виета: $t_1 = 4; \quad t_2 = -2$ (не подходит, так как $t \ge 0$) Обратная замена: $\sqrt{x} = 4 \Rightarrow x = 16$ **Ответ: 16.** **г) $3x^2 - 26|x| - 9 = 0$** Так как $x^2 = |x|^2$, пусть $|x| = t$, где $t \ge 0$. Тогда: $3t^2 - 26t - 9 = 0$ $D = (-26)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-9) = 676 + 108 = 784 = 28^2$ $t_1 = \frac{26 + 28}{6} = 9; \quad t_2 = \frac{26 - 28}{6} = -\frac{1}{3}$ (не подходит, так как $t \ge 0$) Обратная замена: $|x| = 9 \Rightarrow x_{1,2} = \pm 9$ **Ответ: -9; 9.**