1. Основанием прямоугольного параллелепипеда служит квадрат, диагональ параллелепипеда равна 2√6 см, а его измерения относятся как 1 : 1 : 2. Найдите: а) измерения параллелепипеда; б) синус угла между диагональю параллелепипеда и плоскостью его основания.

**Задание 1** Ответ: а) $2$ см, $2$ см, $4$ см; б) $\frac{2}{3}$. Пусть измерения параллелепипеда (стороны основания и высота) равны $x, x$ (так как в основании квадрат) и $2x$ (по условию отношения $1:1:2$). Диагональ прямоугольного параллелепипеда $d = 2\sqrt{6}$ см. Квадрат диагонали равен сумме квадратов трёх его измерений: $d^2 = a^2 + b^2 + c^2$ $(2\sqrt{6})^2 = x^2 + x^2 + (2x)^2$ $4 \cdot 6 = 2x^2 + 4x^2$ $24 = 6x^2$ $x^2 = 4$ $x = 2$ а) Измерения: $a = 2$ см, $b = 2$ см, $c = 2 \cdot 2 = 4$ см. б) Синус угла $\varphi$ между диагональю параллелепипеда и плоскостью его основания равен отношению высоты параллелепипеда к его диагонали: $\sin \varphi = \frac{c}{d} = \frac{4}{2\sqrt{6}} = \frac{2}{\sqrt{6}} = \frac{2\sqrt{6}}{6} = \frac{\sqrt{6}}{3} \approx 0,816$ Если рассматривать отношение к гипотенузе в треугольнике, где катет — высота: $\sin \varphi = \frac{4}{2\sqrt{6}} = \frac{2}{\sqrt{6}}$. **Задание 2** Ответ: а) $\frac{a}{2}$; б) рисунок строится как угол между перпендикулярами к ребру $AD$. а) Так как $ABCD$ — квадрат, то $CD \parallel AB$. Если прямая параллельна плоскости, то все её точки равноудалены от этой плоскости. Расстояние от точки $B$ до плоскости $\alpha$ равно $\frac{a}{2}$ (по условию). Следовательно, расстояние от точки $C$ до плоскости $\alpha$ также равно $\frac{a}{2}$. б) Линейный угол двугранного угла $VADM$ (где $M$ — точка на плоскости $\alpha$) — это угол между двумя перпендикулярами к ребру $AD$, проведенными в каждой из граней. 1. В плоскости квадрата $ABCD$: $AB \perp AD$. 2. В плоскости $\alpha$: проведем из точки $A$ перпендикуляр $AM$ к ребру $AD$. 3. Угол $\angle BAM$ и будет искомым линейным углом.