Самостоятельная работа «Перпендикулярность прямых и плоскостей». 1 вариант. В прямоугольном параллелепипеде измерения равны 6, 8, 10. Найти диагональ параллелепипеда и угол между диагональю параллелепипеда и плоскостью его основания.

1) В прямоугольном параллелепипеде квадрат диагонали равен сумме квадратов трёх его измерений: $d^2 = a^2 + b^2 + c^2 = 6^2 + 8^2 + 10^2 = 36 + 64 + 100 = 200$ $d = \sqrt{200} = 10\sqrt{2}$ Пусть $a=6, b=8$ — стороны основания, $c=10$ — высота. Диагональ основания $d_{осн} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{100} = 10$. Косинус угла $\alpha$ между диагональю параллелепипеда и плоскостью основания: $\cos\alpha = \frac{d_{осн}}{d} = \frac{10}{10\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$. $\alpha = 45^\circ$ **Ответ: $10\sqrt{2}$; $45^\circ$** 2) В прямоугольном параллелепипеде $AD \perp ABB_1$. Следовательно, $AD \perp AB_1$. Треугольник $DAB_1$ — прямоугольный ($\angle DAB_1 = 90^\circ$). Найдем гипотенузу $AB_1$ в грани $ABB_1A_1$: $AB_1 = \sqrt{AB^2 + BB_1^2} = \sqrt{17^2 + 15^2} = \sqrt{289 + 225} = \sqrt{514}$. В $\triangle DAB_1$: $\text{tg}(\angle AB_1D) = \frac{AD}{AB_1} = \frac{8}{\sqrt{514}}$. Угол не табличный. *Примечание: Вероятно, в условии опечатка в числах для получения красивого ответа.* **Ответ: $\text{arctg}(\frac{8}{\sqrt{514}})$** 3) Измерения параллелепипеда: $C_1D_1 = AB = 3$, $B_1C_1 = BC = 12$. Диагональ $AC_1^2 = AB^2 + BC^2 + AA_1^2$ $13^2 = 3^2 + 12^2 + AA_1^2 \Rightarrow 169 = 9 + 144 + AA_1^2$ $AA_1^2 = 169 - 153 = 16 \Rightarrow AA_1 = 4$ **Ответ: 4** 4) Сечение проходит через точки $A_1$, $D_1$ и $K$. Так как $A_1D_1 \parallel BC$ и $K$ лежит на $BB_1$, то сечение — прямоугольник $A_1D_1CB$ (если $K$ совпадает с $B$) или трапеция. Уточнение: $K$ — середина $BB_1$. $A_1D_1 \parallel BC \parallel B_1C_1$. Линия сечения в грани $BCC_1B_1$ параллельна $A_1D_1$, это отрезок $KL$, где $L$ — середина $CC_1$. Сечение — прямоугольник $A_1D_1LK$. $A_1D_1 = AD = \sqrt{5}$. Сторона $A_1K = \sqrt{A_1B_1^2 + B_1K^2} = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5}$. $S = A_1D_1 \cdot A_1K = \sqrt{5} \cdot \sqrt{5} = 5$ **Ответ: 5**