Вариант 2. 1. Основанием прямоугольного параллелепипеда служит квадрат, диагональ параллелепипеда равна 2√6 см, а его измерения относятся как 1:1:2. Найдите: а) измерения параллелепипеда; б) синус угла между диагональю параллелепипеда и плоскостью его основания.

**Задание 1** Пусть измерения параллелепипеда равны $x$, $x$ и $2x$ (так как в основании квадрат и отношение $1:1:2$). Диагональ прямоугольного параллелепипеда $d$ вычисляется по формуле: $d^2 = a^2 + b^2 + c^2$. а) Составим уравнение: $$x^2 + x^2 + (2x)^2 = (2\sqrt{6})^2$$ $$2x^2 + 4x^2 = 4 \cdot 6$$ $$6x^2 = 24$$ $$x^2 = 4 \Rightarrow x = 2$$ Измерения: $2$ см, $2$ см, $2 \cdot 2 = 4$ см. **Ответ: 2 см, 2 см, 4 см.** б) Синус угла $\varphi$ между диагональю и плоскостью основания равен отношению высоты к диагонали: $$\sin \varphi = \frac{2x}{2\sqrt{6}} = \frac{4}{2\sqrt{6}} = \frac{2}{\sqrt{6}} = \frac{2\sqrt{6}}{6} = \frac{\sqrt{6}}{3}$$ **Ответ: \frac{\sqrt{6}}{3}.** --- **Задание 2** а) Так как $ABCD$ — квадрат и $BC \parallel AD$, а прямая $AD$ лежит в плоскости $\alpha$, то прямая $BC$ параллельна плоскости $\alpha$. Расстояние от любой точки прямой $BC$ до плоскости $\alpha$ одинаково. Значит, расстояние от точки $C$ до $\alpha$ равно расстоянию от точки $B$ до $\alpha$, то есть $\frac{a}{2}$. **Ответ: \frac{a}{2}.** б) Линейный угол двугранного угла — это угол между перпендикулярами к ребру $AD$, проведенными в каждой плоскости. В квадрате $BA \perp AD$. Опустим перпендикуляр $BM \perp \alpha$ (где $M \in \alpha$). Тогда по теореме о трех перпендикулярах $AM \perp AD$. Искомый угол — $\angle BAM$. в) Рассмотрим $\triangle BAM$ ($\angle M = 90^\circ$). Гипотенуза $AB = a$ (сторона квадрата), катет $BM = \frac{a}{2}$ (расстояние до плоскости). $$\sin(\angle BAM) = \frac{BM}{AB} = \frac{a/2}{a} = \frac{1}{2}$$ Следовательно, угол равен $30^\circ$. **Ответ: 30^\circ.**