Вариант 2. 1. Основанием прямоугольного параллелепипеда служит квадрат, диагональ параллелепипеда равна 2√6 см, а его измерения относятся как 1:1:2. Найдите: а) измерения параллелепипеда; б) синус угла между диагональю параллелепипеда и плоскостью его основания.

**Ответ:** 1. а) 2 см, 2 см, 4 см; б) $\frac{\sqrt{6}}{3}$ **Решение задания 1:** Пусть измерения параллелепипеда равны $x$, $x$ и $2x$ (так как в основании квадрат и отношение $1:1:2$). Воспользуемся формулой диагонали прямоугольного параллелепипеда $d^2 = a^2 + b^2 + c^2$: $$(2\sqrt{6})^2 = x^2 + x^2 + (2x)^2$$ $$4 \cdot 6 = 2x^2 + 4x^2$$ $$24 = 6x^2$$ $$x^2 = 4 \Rightarrow x = 2$$ а) Измерения: $x = 2$ см, $x = 2$ см, $2x = 4$ см. б) Угол между диагональю параллелепипеда и плоскостью основания — это угол между диагональю $d$ и диагональю основания $d_{осн}$. Диагональ основания $d_{осн} = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ см. Высота параллелепипеда $h = 4$ см. Синус искомого угла $\alpha$: $$\sin \alpha = \frac{h}{d} = \frac{4}{2\sqrt{6}} = \frac{2}{\sqrt{6}} = \frac{2\sqrt{6}}{6} = \frac{\sqrt{6}}{3}$$ **Решение задания 2:** а) **Ответ: $\frac{a}{2}$** Так как $ABCD$ — квадрат, то $BC \parallel AD$. Линия $AD$ лежит в плоскости $\alpha$, значит $BC \parallel \alpha$. Расстояние от любой точки прямой, параллельной плоскости, до этой плоскости одинаково. Поэтому расстояние от $C$ до $\alpha$ равно расстоянию от $B$ до $\alpha$, то есть $\frac{a}{2}$. б) Линейным углом двугранного угла $BADM$ будет угол между перпендикулярами к ребру $AD$, проведенными в каждой из плоскостей. В плоскости квадрата это сторона $AB$ ($AB \perp AD$). В плоскости $\alpha$ это отрезок $AM$, где $M$ — проекция точки $B$ на плоскость $\alpha$ ($AM \perp AD$ по теореме о трех перпендикулярах). Значит, искомый угол — $\angle BAM$. в) **Ответ: $\frac{1}{2}$** Угол между плоскостью квадрата и плоскостью $\alpha$ — это и есть угол $\angle BAM$ из пункта б). Рассмотрим прямоугольный $\triangle ABM$ (где $\angle M = 90^\circ$): $AB = a$ (гипотенуза), $BM = \frac{a}{2}$ (катет, равный расстоянию от $B$ до $\alpha$). $$\sin \angle BAM = \frac{BM}{AB} = \frac{a/2}{a} = \frac{1}{2}$$