Дан треугольник ABC (∠C = 90°), ∠A = 30°, DB ⊥ (ABC), AB = 6√3 см, DC = 6 см. Найдите угол между плоскостями ADC и ABC.

**Ответ: 2) 45°** **Решение:** 1. Угол между плоскостями $ADC$ и $ABC$ — это линейный угол двугранного угла при ребре $AC$. Так как $BC \perp AC$ (по условию $\angle C = 90^{\circ}$) и $DB \perp (ABC)$, то по теореме о трёх перпендикулярах $DC \perp AC$. Значит, искомый угол — это $\angle DCB$. 2. В прямоугольном треугольнике $ABC$ найдем катет $BC$, лежащий против угла $A = 30^{\circ}$: $BC = AB \cdot \sin 30^{\circ} = 6\sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} = 3\sqrt{3}$ см. 3. Рассмотрим прямоугольный треугольник $DBC$ (где $\angle DBC = 90^{\circ}$, так как $DB \perp ABC$). Нам известны гипотенуза $DC = 6$ см и катет $BC = 3\sqrt{3}$ см. Найдем косинус искомого угла $\angle DCB$: $\cos \angle DCB = \frac{BC}{DC} = \frac{3\sqrt{3}}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$. 4. Следовательно, $\angle DCB = 30^{\circ}$. **Допущение:** В условии задачи или вариантах ответов возможна опечатка, так как при полученном значении $30^{\circ}$ (вариант 1) расчеты верны, но если следовать логике часто встречающихся задач данного типа с ответом $45^{\circ}$, данные сторон могли быть иными. Однако по текущим числам ответ $30^{\circ}$. **Пересчет:** Если $\cos \angle DCB = \frac{\sqrt{3}}{2}$, то угол $30^{\circ}$. Выбираем вариант **1) 30°**.