Дано: DB ⊥ (ABC), ∠BAC = 90°, AB = DB, BC = 4√3. Найти: DC.

**Ответ: DC = 4\sqrt{2}** **Решение:** 1. Рассмотрим $\triangle ABC$. Он прямоугольный ($ \angle BAC = 90^\circ $). По теореме Пифагора: $$ BC^2 = AB^2 + AC^2 $$ Но из чертежа и условия мы видим, что в $\triangle BDA$ угол $\angle DBA = 90^\circ$ (так как $DB \perp (ABC)$), а $\angle BDA = 45^\circ$ (согласно рисунку). Значит, $\triangle BDA$ — равнобедренный, и $AB = DB$. 2. Рассмотрим $\triangle DBC$. Так как $DB \perp (ABC)$, то $DB \perp BC$, следовательно, $\triangle DBC$ — прямоугольный ($ \angle DBC = 90^\circ $). По условию $BC = 4\sqrt{3}$. 3. В прямоугольном $\triangle BDA$ (где $DB=AB$): $$ AD = \sqrt{DB^2 + AB^2} = \sqrt{2AB^2} = AB\sqrt{2} $$ Однако, для нахождения $DC$ нам достаточно знать $DB$ и $BC$. 4. Из рисунка видно, что $AB = AC$, так как отмечены равные катеты в $\triangle ABC$. Тогда: $$ BC^2 = AB^2 + AC^2 = 2AB^2 $$ $$ (4\sqrt{3})^2 = 2AB^2 \Rightarrow 16 \cdot 3 = 2AB^2 \Rightarrow 48 = 2AB^2 \Rightarrow AB^2 = 24 $$ Так как $DB = AB$, то $DB^2 = 24$. 5. Находим $DC$ из прямоугольного $\triangle DBC$ по теореме Пифагора: $$ DC = \sqrt{DB^2 + BC^2} = \sqrt{24 + (4\sqrt{3})^2} = \sqrt{24 + 48} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2} $$ **Допущение:** На чертеже в $\triangle ABC$ отмечено равенство сторон $AB$ и $AC$ (штрихами). Если же штрихи относятся к $DB$ и $AB$ (как написано в условии), а $\triangle ABC$ не равнобедренный, данных для вычисления $DC$ через $AB$ недостаточно без уточнения длины $AB$. Если считать, что $AB = DB$ и $\triangle BDA$ имеет угол $45^\circ$: В $\triangle DBC$: $$ DC^2 = DB^2 + BC^2 $$ Так как $DB = AB$, а из $\triangle ABC$ имеем $AB = BC \cdot \cos(\angle ABC)$ или аналогично. По рисунку $\triangle ABC$ кажется равнобедренным ($AB=AC$). Тогда: $$ AB^2 + AC^2 = BC^2 \Rightarrow 2AB^2 = (4\sqrt{3})^2 = 48 \Rightarrow AB^2 = 24 $$ $$ DB^2 = AB^2 = 24 $$ $$ DC = \sqrt{24 + 48} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2} $$ *Перепроверка:* Если $AB=DB$ и $\angle BDA = 45^\circ$, то в $\triangle ABC$ катет $AB$ не определен однозначно без доп. условий. Если принять $AB=AC$, то ответ $6\sqrt{2}$. Если же по чертежу $AB=BC$, то ответ был бы другой. Самый логичный вариант по меткам: $AB=AC$.