Реши уравнение sin³ x + cos³ x = cos 2x и найди все корни уравнения, принадлежащие отрезку [3π/2; 3π]

Конечно, давай решим это уравнение вместе! Вот как это можно сделать: 51. a) Решим уравнение $\sin^3 x + \cos^3 x = \cos 2x$. Используем формулы сокращенного умножения и тригонометрические тождества: $$(\sin x + \cos x)(\sin^2 x - \sin x \cos x + \cos^2 x) = \cos^2 x - \sin^2 x$$ $$(\sin x + \cos x)(1 - \sin x \cos x) = (\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x)$$ Перенесем все в одну сторону: $$(\sin x + \cos x)(1 - \sin x \cos x) - (\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x) = 0$$ $$(\sin x + \cos x)(1 - \sin x \cos x - (\cos x - \sin x)) = 0$$ Получаем два случая: 1) $\sin x + \cos x = 0$ $\sin x = -\cos x$ $\tan x = -1$ $x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$ 2) $1 - \sin x \cos x - \cos x + \sin x = 0$ $1 - \cos x + \sin x - \sin x \cos x = 0$ $(1 - \cos x) + \sin x(1 - \cos x) = 0$ $(1 - \cos x)(1 + \sin x) = 0$ a) $1 - \cos x = 0$ $\cos x = 1$ $x = 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$ b) $1 + \sin x = 0$ $\sin x = -1$ $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi m, m \in \mathbb{Z}$ б) Найдем все корни уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\frac{3\pi}{2}; 3\pi\right]$. 1) $x = -\frac{\pi}{4} + \pi n$ Подставим значения $n$, чтобы найти корни в заданном отрезке: $n = 2: x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi = \frac{7\pi}{4}$ $n = 3: x = -\frac{\pi}{4} + 3\pi = \frac{11\pi}{4}$ 2) $x = 2\pi k$ $k = 1: x = 2\pi$ 3) $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi m$ $m = 1: x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi = \frac{3\pi}{2}$ **Ответ:** а) $x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, x = 2\pi k, x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi m$, где $n, k, m \in \mathbb{Z}$ б) $\frac{7\pi}{4}, \frac{11\pi}{4}, 2\pi, \frac{3\pi}{2}$