а) Решите уравнение: 2 cos(π/3 - x) - 1 = 0. б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку [3π/2; 3π].

**Ответ:** а) $x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi k$ и $x = \pi + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. б) $\frac{5\pi}{3}$ и $3\pi$. **Решение:** **а) Решим уравнение:** $2 \cos \left( \frac{\pi}{3} - x \right) - 1 = 0$ Так как косинус — функция чётная, $\cos(\frac{\pi}{3} - x) = \cos(x - \frac{\pi}{3})$. $2 \cos \left( x - \frac{\pi}{3} \right) = 1$ $\cos \left( x - \frac{\pi}{3} \right) = \frac{1}{2}$ Используем формулу для корней уравнения $\cos(t) = a$: $t = \pm \arccos(a) + 2\pi k$ $x - \frac{\pi}{3} = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k$ 1. $x - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{3} + 2\pi k \Rightarrow x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$ (это эквивалентно $-\frac{\pi}{3} + 2\pi (k+1)$, для удобства в ответе запишем $-\frac{\pi}{3} + 2\pi n$) 2. $x - \frac{\pi}{3} = -\frac{\pi}{3} + 2\pi k \Rightarrow x = 2\pi k$ (или $\pi + 2\pi k$ если рассматривать симметрию относительно круга). Пересчитаем точнее: $x - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{3} + 2\pi k \Rightarrow x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$ $x - \frac{\pi}{3} = -\frac{\pi}{3} + 2\pi k \Rightarrow x = 2\pi k$ **б) Отбор корней на промежутке $\left[ \frac{3\pi}{2}; 3\pi \right]$:** 1. Для $x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$: - При $k = 0: x = \frac{2\pi}{3} \approx 2,09$ (не подходит) - При $k = 1: x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi = \frac{8\pi}{3} \approx 8,37$ (подходит, так как $1,5\pi \leq 2,66\pi \leq 3\pi$) 2. Для $x = 2\pi k$: - При $k = 1: x = 2\pi$ (подходит) **Уточнение:** В пункте (а) корни: $x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$ и $x = 2\pi k$. В пункте (б) корни: $2\pi$ и $\frac{8\pi}{3}$.