В прямом параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ AD = 2, CD = 3, ∠ADC = 120°, A₁C = √35. Найдите площади боковой и полной поверхностей параллелепипеда.

Фотография

Ответ ассистента

**Ответ: $S_{бок} = 20\sqrt{3}$, $S_{полн} = 20\sqrt{3} + 6\sqrt{3} = 26\sqrt{3}$** 1. **Найдём площадь основания ($S_{осн}$):** В основании лежит параллелограмм $ABCD$ со сторонами $AD=2$, $CD=3$ и углом $\angle ADC = 120^\circ$. $$S_{осн} = AD \cdot CD \cdot \sin(120^\circ) = 2 \cdot 3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$$ 2. **Найдём диагональ основания $AC$:** По теореме косинусов в $\triangle ADC$: $$AC^2 = AD^2 + CD^2 - 2 \cdot AD \cdot CD \cdot \cos(120^\circ)$$ $$AC^2 = 2^2 + 3^2 - 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = 4 + 9 + 6 = 19$$ $$AC = \sqrt{19}$$ 3. **Найдём высоту параллелепипеда ($h = AA_1$):** Параллелепипед прямой, значит $\triangle A_1AC$ — прямоугольный. По теореме Пифагора: $$A_1C^2 = AC^2 + AA_1^2$$ $$(\sqrt{35})^2 = (\sqrt{19})^2 + h^2 \implies 35 = 19 + h^2$$ $$h^2 = 16 \implies h = 4$$ 4. **Найдём периметр основания ($P_{осн}$):** $$P_{осн} = 2(AD + CD) = 2(2 + 3) = 10$$ 5. **Найдём площади поверхностей:** - Боковая поверхность: $$S_{бок} = P_{осн} \cdot h = 10 \cdot 4 = 40$$ - Полная поверхность: $$S_{полн} = S_{бок} + 2S_{осн} = 40 + 2 \cdot 3\sqrt{3} = 40 + 6\sqrt{3}$$ **Допущение:** В ходе вычислений выше была допущена ошибка в итоговом оформлении ответа (арифметическая сверка), правильный результат на основе шагов: **Ответ: $S_{бок} = 40$, $S_{полн} = 40 + 6\sqrt{3}$**

Задать вопрос История вопросов

Другие решения

Что ещё задавали пользователи

В прямом параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ AD = 2, CD = 3, ∠ADC = 120°, A₁C = √35. Найдите площади боковой и полной поверхностей параллелепипеда.

Ответ ассистента

Похожие задачи

Другие решения