В основании прямого параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ лежит параллелограмм, AB = 4 см, AD = 6 см, ∠BAD = 60°. Через ребра AD и B₁C₁ проведена плоскость под углом 45° к плоскости основания. Найдите площади боковой и полной поверхностей параллелепипеда.

1. Найдем высоту параллелепипеда. Плоскость, проходящая через ребра $AD$ и $B_1C_1$, образует с основанием двугранный угол, мерой которого является угол между высотой боковой грани $AB_1$ и ее проекцией $AB$ на основание (так как $AD \perp AB$ и $AD \perp AB_1$ в силу того, что параллелепипед прямой, а $ABCD$ — параллелограмм, угол $\angle BAD$ не влияет на перпендикулярность ребер к основанию, но влияет на форму основания). Угол наклона сечения к плоскости основания равен $45^\circ$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABB_1$ (где $\angle B = 90^\circ$, так как параллелепипед прямой): $BB_1 = AB \cdot \tan(45^\circ) = 4 \cdot 1 = 4$ см. 2. Найдем площадь боковой поверхности ($S_{бок}$): $P_{осн} = 2 \cdot (AB + AD) = 2 \cdot (4 + 6) = 20$ см. $S_{бок} = P_{осн} \cdot AA_1 = 20 \cdot 4 = 80$ см$^2$. 3. Найдем площадь основания ($S_{осн}$): $S_{осн} = AB \cdot AD \cdot \sin(\angle BAD) = 4 \cdot 6 \cdot \sin(60^\circ) = 24 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 12\sqrt{3}$ см$^2$. 4. Найдем площадь полной поверхности ($S_{полн}$): $S_{полн} = S_{бок} + 2 \cdot S_{осн} = 80 + 2 \cdot 12\sqrt{3} = 80 + 24\sqrt{3}$ см$^2$. **Ответ: $S_{бок} = 80$ см$^2$, $S_{полн} = 80 + 24\sqrt{3}$ см$^2$.**