Найди объем прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$, если $AC_1 = 13$ см, $BD = 12$ см и $BC_1 = 11$ см.

1. Найди объем прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$, если $AC_1 = 13$ см, $BD = 12$ см и $BC_1 = 11$ см. Пусть измерения параллелепипеда будут $a$, $b$, $c$. Диагональ параллелепипеда $d^2 = a^2 + b^2 + c^2$. Также известно, что диагональ грани $d_{грани}^2 = a^2 + b^2$ или $a^2 + c^2$ или $b^2 + c^2$. Даны диагонали: $AC_1 = 13$ см (диагональ параллелепипеда), $BD = 12$ см (диагональ основания, $d_{осн}^2 = a^2 + b^2$), $BC_1 = 11$ см (диагональ боковой грани, $d_{бок}^2 = b^2 + c^2$). Известно, что $AC_1^2 = AB^2 + BC^2 + CC_1^2$. Обозначим $AB = a$, $BC = b$, $CC_1 = c$. Тогда: $$a^2 + b^2 + c^2 = AC_1^2 = 13^2 = 169$$ $$a^2 + b^2 = BD^2 = 12^2 = 144$$ $$b^2 + c^2 = BC_1^2 = 11^2 = 121$$ Из первого и второго уравнения найдем $c^2$: $$c^2 = 169 - (a^2 + b^2) = 169 - 144 = 25$$ $$c = \sqrt{25} = 5$$ Из третьего уравнения найдем $b^2$: $$b^2 = 121 - c^2 = 121 - 25 = 96$$ $$b = \sqrt{96} = 4\sqrt{6}$$ Из второго уравнения найдем $a^2$: $$a^2 = 144 - b^2 = 144 - 96 = 48$$ $$a = \sqrt{48} = 4\sqrt{3}$$ Объем параллелепипеда $V = a \cdot b \cdot c$. $$V = 4\sqrt{3} \cdot 4\sqrt{6} \cdot 5 = 16\sqrt{18} \cdot 5 = 80\sqrt{9 \cdot 2} = 80 \cdot 3\sqrt{2} = 240\sqrt{2}$$ **Ответ:** $240\sqrt{2}$ см$^3$ 2. Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна 18 см и составляет угол в $30^\circ$ с плоскостью боковой грани и угол в $45^\circ$ с боковым ребром. Найдите объем параллелепипеда. Пусть диагональ параллелепипеда $d = 18$ см. Обозначим измерения параллелепипеда как $a$, $b$, $c$. Пусть диагональ составляет угол $30^\circ$ с боковой гранью $BCC_1B_1$. Это означает, что угол между диагональю $AC_1$ и ее проекцией на эту грань ($BC_1$) равен $30^\circ$. В прямоугольном треугольнике $ABC_1$ (где $AB$ перпендикулярно грани $BCC_1B_1$): $$AB = AC_1 \cdot \sin(30^\circ) = 18 \cdot \frac{1}{2} = 9 \text{ см}$$ То есть $a = 9$ см. Пусть диагональ составляет угол $45^\circ$ с боковым ребром. Возьмем ребро $CC_1$. Угол между диагональю $AC_1$ и ребром $CC_1$ равен $45^\circ$. В прямоугольном треугольлом $ACC_1$: $$CC_1 = AC_1 \cdot \cos(45^\circ) = 18 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 9\sqrt{2} \text{ см}$$ То есть $c = 9\sqrt{2}$ см. Теперь найдем $b$. Мы знаем, что $d^2 = a^2 + b^2 + c^2$. $$18^2 = 9^2 + b^2 + (9\sqrt{2})^2$$ $$324 = 81 + b^2 + 81 \cdot 2$$ $$324 = 81 + b^2 + 162$$ $$324 = 243 + b^2$$ $$b^2 = 324 - 243 = 81$$ $$b = \sqrt{81} = 9 \text{ см}$$ Объем параллелепипеда $V = a \cdot b \cdot c$. $$V = 9 \cdot 9 \cdot 9\sqrt{2} = 81 \cdot 9\sqrt{2} = 729\sqrt{2} \text{ см}^3$$ **Ответ:** $729\sqrt{2}$ см$^3$ 3. Диагональ прямоугольного параллелепипеда составляет угол $\alpha$ с плоскостью боковой грани и угол $\beta$ с плоскостью основания. Найдите объем параллелепипеда, если его высота равна $h$. Обозначим измерения параллелепипеда $a, b, c$. Высота параллелепипеда $c = h$. Пусть $d$ — диагональ параллелепипеда. Угол $\alpha$ с плоскостью боковой грани. Возьмем боковую грань $BCC_1B_1$. Тогда $a = d \sin\alpha$. Угол $\beta$ с плоскостью основания. Тогда $c = d \sin\beta$. Мы знаем, что $c = h$, значит $h = d \sin\beta$, откуда $d = \frac{h}{\sin\beta}$. Теперь мы можем найти $a$: $$a = d \sin\alpha = \frac{h}{\sin\beta} \cdot \sin\alpha = h \frac{\sin\alpha}{\sin\beta}$$ Также, проекция диагонали на основание равна $d_{осн} = d \cos\beta$. А в основании $d_{осн}^2 = a^2 + b^2$. С другой стороны, из прямоугольного треугольника, образованного диагональю $d$, ребром $a$ и диагональю боковой грани $BC_1$, имеем $BC_1 = d \cos\alpha$. А $BC_1^2 = b^2 + c^2$. Подставляем известные значения: $$b^2 + h^2 = (d \cos\alpha)^2 = \left(\frac{h}{\sin\beta} \cos\alpha\right)^2 = h^2 \frac{\cos^2\alpha}{\sin^2\beta}$$ $$b^2 = h^2 \frac{\cos^2\alpha}{\sin^2\beta} - h^2 = h^2 \left(\frac{\cos^2\alpha}{\sin^2\beta} - 1\right) = h^2 \frac{\cos^2\alpha - \sin^2\beta}{\sin^2\beta}$$ $$b = h \frac{\sqrt{\cos^2\alpha - \sin^2\beta}}{\sin\beta}$$ Объем параллелепипеда $V = a \cdot b \cdot c$. $$V = \left(h \frac{\sin\alpha}{\sin\beta}\right) \cdot \left(h \frac{\sqrt{\cos^2\alpha - \sin^2\beta}}{\sin\beta}\right) \cdot h$$ $$V = h^3 \frac{\sin\alpha \sqrt{\cos^2\alpha - \sin^2\beta}}{\sin^2\beta}$$ **Ответ:** $V = h^3 \frac{\sin\alpha \sqrt{\cos^2\alpha - \sin^2\beta}}{\sin^2\beta}$