1. Из вершины A прямоугольника ABCD восстановлен перпендикуляр AK к его плоскости, расстояние от конца которого до других вершин равны 6 м, 7 м и 9 м. Найдите длину перпендикуляра.

1. **Ответ: 2 м** **Дано:** $ABCD$ — прямоугольник, $AK \perp (ABC)$, $KB = 6$ м, $KD = 7$ м, $KC = 9$ м. **Найти:** $AK$. **Решение:** Пусть $AK = h$, $AB = a$, $AD = b$. Из прямоугольных треугольников $\triangle KAB$, $\triangle KAD$ и $\triangle KAC$ (так как $AK$ перпендикулярен любой прямой в плоскости) по теореме Пифагора: 1) $KB^2 = h^2 + a^2 \Rightarrow 36 = h^2 + a^2$ 2) $KD^2 = h^2 + b^2 \Rightarrow 49 = h^2 + b^2$ 3) В прямоугольнике $AC^2 = a^2 + b^2$. Тогда в $\triangle KAC$: $KC^2 = h^2 + AC^2 = h^2 + a^2 + b^2$. $9^2 = h^2 + a^2 + b^2 \Rightarrow 81 = h^2 + a^2 + b^2$ Сложим первые два уравнения: $36 + 49 = h^2 + a^2 + h^2 + b^2 = 2h^2 + a^2 + b^2 = 85$. Вычтем из этого результата третье уравнение: $(2h^2 + a^2 + b^2) - (h^2 + a^2 + b^2) = 85 - 81$ $h^2 = 4$ $h = 2$ 2. **Ответ: 6 дм** **Дано:** $ABCD$ — квадрат, $AB = 8$ дм, $AE \perp (ABC)$, $AE = 2$ дм. **Найти:** расстояние от $E$ до $BD$. **Решение:** Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей квадрата. $AC \perp BD$ (свойство квадрата). Так как $AE \perp (ABC)$, то по теореме о трех перпендикулярах $EO \perp BD$. Значит, искомое расстояние — это отрезок $EO$. Диагональ квадрата $AC = AB\sqrt{2} = 8\sqrt{2}$. $AO = \frac{1}{2} AC = 4\sqrt{2}$. Из $\triangle EAO$ ($\angle A = 90^\circ$): $EO^2 = AE^2 + AO^2 = 2^2 + (4\sqrt{2})^2 = 4 + 32 = 36$ $EO = 6$ 3. **Ответ: 6 см** **Дано:** $\triangle ABC$, $D \in AB$, $BD : BA = 1 : 3$. $(DD_1C_1) \parallel AC$, $D_1 \in BC$, $DD_1 = 4$ см. **Найти:** $AC$. **Решение:** Так как плоскость проходит через прямую $DD_1$ и параллельна $AC$, то линия пересечения этой плоскости с плоскостью треугольника (отрезок $DD_1$) параллельна $AC$. $DD_1 \parallel AC$. Из подобия треугольников $\triangle BDD_1 \sim \triangle BAC$ (по двум углам): $\frac{DD_1}{AC} = \frac{BD}{BA}$ $\frac{4}{AC} = \frac{1}{3}$ $AC = 4 \cdot 3 = 12$ см. **Допущение:** В условии 3 задачи сказано $BD:BA=1:3$, что означает, что $D$ делит отрезок так, что $BD$ составляет треть всей стороны. Если же имелось в виду отношение частей $BD:DA=1:3$, то $BA$ было бы 4 частями, и ответ был бы 16 см. Решено строго по тексту: $BD:BA=1:3$.