Перечислите взаимное расположение прямых в пространстве.

1. **Ответ: пересекающиеся, параллельные, скрещивающиеся.** 2. **Решение:** а) если $a \not\subset \alpha$, $b \in \alpha$ и $a \parallel b$, то **прямая $a$ параллельна плоскости $\alpha$ ($a \parallel \alpha$)**. б) если $a \parallel b$ и $a \parallel \alpha$, то **прямая $b$ либо параллельна плоскости $\alpha$, либо лежит в ней**. в) если $(a \cap b) \in \alpha$ и $(a_1 \cap b_1) \in \beta$, при этом $a \parallel a_1$ и $b \parallel b_1$, то **плоскости $\alpha$ и $\beta$ параллельны ($\alpha \parallel \beta$)**. г) если $a \parallel b$ и $a \parallel c$, то **прямые $b$ и $c$ параллельны ($b \parallel c$)**. 3. **Ответ: $DD_1 = 7$ м.** Для параллелограмма и плоскости, которую он не пересекает, верно равенство сумм расстояний от противоположных вершин до этой плоскости: $$AA_1 + CC_1 = BB_1 + DD_1$$ $$2 + 8 = 3 + DD_1$$ $$10 = 3 + DD_1$$ $$DD_1 = 7$$ 4. **Ответ: 3 см.** Расстояние от середины отрезка до плоскости равно средней линии трапеции (или треугольника), образованной проекциями. Если один конец лежит в плоскости ($h_1 = 0$), а другой на расстоянии $h_2 = 6$ см: $$d = \frac{h_1 + h_2}{2} = \frac{0 + 6}{2} = 3 \text{ см}$$ 5. **Ответ: $AB = 11$ м.** Пусть плоскости $\alpha \perp \beta$, $CD$ — линия их пересечения. $AC \perp CD$, $BD \perp CD$. Отрезок $AB$ можно найти как гипотенузу в прямоугольном треугольнике, где катеты — проекция и разность высот, либо через пространственную теорему Пифагора для данной конфигурации: $$AB^2 = AC^2 + BD^2 + CD^2$$ $$AB^2 = 6^2 + 7^2 + 6^2$$ $$AB^2 = 36 + 49 + 36 = 121$$ $$AB = \sqrt{121} = 11 \text{ м}$$