Прямая DC перпендикулярна плоскости, в которой лежит треугольник ABC. Причем, DC = 7, AC = 40, BC = 30. Найдите расстояние от точки D до прямой AB.

Question

Вопрос:

Прямая DC перпендикулярна плоскости, в которой лежит треугольник ABC. Причем, DC = 7, AC = 40, BC = 30. Найдите расстояние от точки D до прямой AB.

Фотография

Ответ ассистента

Accepted Answer

**Ответ: 25** **Решение:** 1. Сначала рассмотрим треугольник $ABC$ в плоскости основания. По условию $AC = 40$, $BC = 30$. На рисунке отмечено, что угол $C$ прямой ($90^\circ$). Проверим это по теореме Пифагора или заметим, что это «египетский» треугольник (коэффициент 10), тогда гипотенуза $AB$: $$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{40^2 + 30^2} = \sqrt{1600 + 900} = \sqrt{2500} = 50$$ 2. Проведём высоту $CH$ из вершины $C$ к прямой $AB$. Площадь треугольника $ABC$ можно найти двумя способами: $$S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 40 \cdot 30 = 600$$ $$S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CH \Rightarrow 600 = \frac{1}{2} \cdot 50 \cdot CH \Rightarrow 600 = 25 \cdot CH$$ $$CH = \frac{600}{25} = 24$$ 3. Так как $DC \perp (ABC)$, то по теореме о трёх перпендикулярах отрезок $DH$ будет перпендикуляром к $AB$. Следовательно, расстояние от точки $D$ до прямой $AB$ — это длина отрезка $DH$. 4. Рассмотрим прямоугольный треугольник $DCH$ (угол $C = 90^\circ$). По теореме Пифагора: $$DH = \sqrt{DC^2 + CH^2} = \sqrt{7^2 + 24^2} = \sqrt{49 + 576} = \sqrt{625} = 25$$

Прямая DC перпендикулярна плоскости, в которой лежит треугольник ABC. Причем, DC = 7, AC = 40, BC = 30. Найдите расстояние от точки D до прямой AB.

Ответ ассистента

Другие решения