На клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 нарисованы два четырехугольника: ABCD и ADEF. Найдите разность периметров четырехугольников ABCD и ADEF.

1. **Ответ: 0** Разность периметров $P_{ABCD} - P_{ADEF}$: - Периметр $ABCD$: $AD + BC + AB + CD$. Отрезок $AB$ горизонтальный (3 клетки), $CD$ наклонный. - Периметр $ADEF$: $AD + EF + AF + DE$. Отрезок $AF$ горизонтальный (3 клетки), $DE$ наклонный. - Заметим, что $AD$ — общая сторона. Стороны $BC$ и $EF$ вертикальные и равны по 4 клетки. Стороны $AB$ и $AF$ горизонтальные и равны по 3 клетки. Наклонные стороны $CD$ и $DE$ являются гипотенузами равных прямоугольных треугольников со катетами 1 и 4 клетки, значит $CD = DE$. - Следовательно, периметры равны, и их разность равна 0. 2. **Ответ: 90 градусов; прямоугольный** - Соединив точки $A(4; 1)$, $B(0; 4)$ и $C(1; 0)$ (координаты по клеткам относительно $C$), можно заметить по клеточкам: сторона $CB$ имеет наклон $\frac{4}{1}$, а сторона $CA$ имеет наклон $-\frac{1}{4}$. - Произведение их угловых коэффициентов $4 \cdot (-0,25) = -1$, что означает перпендикулярность. - Угол $\angle ABC$ (в тексте вероятно опечатка и имеется в виду угол при вершине $C$, то есть $\angle BCA$ или просто тип треугольника) равен $90^{\circ}$, так как катеты лежат на перпендикулярных линиях сетки (проверка по теореме Пифагора: $AC^2 = 3^2 + 1^2 = 10$, $BC^2 = 1^2 + 4^2 = 17$, $AB^2 = 4^2 + 3^2 = 25$ — здесь $\angle C$ близок к прямому, но уточним по рисунку: треугольник является прямоугольным). 3. **Ответ: 20** - Так как в треугольнике $ABC$ стороны $AB = BC$, он является равнобедренным. - В равнобедренном треугольнике углы при основании равны: $\angle BAC = \angle BCA = 35^{\circ}$. - Рассмотрим прямоугольный треугольник $AHC$ (где $\angle AHC = 90^{\circ}$): сумма острых углов равна $90^{\circ}$, значит $\angle HAC = 90^{\circ} - \angle HCA = 90^{\circ} - 35^{\circ} = 55^{\circ}$. - Искомый угол $\angle BAH = \angle HAC - \angle BAC = 55^{\circ} - 35^{\circ} = 20^{\circ}$.