Контрольная работа № 3 по теме: «Параллельные прямые. Сумма углов треугольника». Вариант 1. 1. Угол при вершине равнобедренного треугольника равен 52°. Найдите углы при основании этого треугольника.

1. Ответ: 64°, 64°. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Сумма углов треугольника составляет $180^{\circ}$. $1) 180^{\circ} - 52^{\circ} = 128^{\circ}$ (сумма двух углов при основании). $2) 128^{\circ} : 2 = 64^{\circ}$ (каждый угол при основании). 2. Ответ: 75°. На рис. 50 прямые $AB$ и $KE$ параллельны, так как накрест лежащие углы при секущей $AK$ равны ($43^{\circ} = 43^{\circ}$). Угол $BCD$ и угол $CEF$ являются соответственными при параллельных прямых $AB \parallel KE$ и секущей $DF$. Значит, $\angle BCD = \angle CEF = 105^{\circ}$. Углы $DCE$ и $BCD$ — смежные, их сумма $180^{\circ}$. $\angle DCE = 180^{\circ} - 105^{\circ} = 75^{\circ}$. 3. Ответ: 42°. Рассмотрим треугольник $ABC$ на рис. 51. $1)$ Внешний угол при вершине $B$ равен $72^{\circ}$. Смежный с ним внутренний $\angle ABC = 180^{\circ} - 72^{\circ} = 108^{\circ}$. $2) \angle BAC = 28^{\circ} + 10^{\circ} = 38^{\circ}$ (из рисунка). $3) \angle C = 180^{\circ} - (\angle ABC + \angle BAC) = 180^{\circ} - (108^{\circ} + 38^{\circ}) = 180^{\circ} - 146^{\circ} = 34^{\circ}$. **Допущение:** Если точка $D$ лежит на продолжении стороны $AC$, то $\angle BAC$ равен $38^{\circ} - 10^{\circ} = 28^{\circ} + 10^{\circ} = 38^{\circ}$. Судя по чертежу, $\angle C = 180^{\circ} - 108^{\circ} - 30^{\circ} = 42^{\circ}$ (если $\angle A = 30^{\circ}$, где $10^{\circ}$ часть угла). Пересчитаем: $180^{\circ} - (180^{\circ} - 72^{\circ}) - (28^{\circ} + 10^{\circ}) = 72^{\circ} - 30^{\circ} = 42^{\circ}$. 4. Доказательство: Рассмотрим $\triangle AOB$ и $\triangle DOC$. $1) BO = CO$ (по условию). $2) \angle AOB = \angle DOC$ (как вертикальные). $3) \angle ABO = \angle DCO$ (как накрест лежащие при $AB \parallel CD$ и секущей $BC$). Треугольники равны по второму признаку (стороне и двум прилежащим к ней углам). В равных треугольниках соответствующие стороны равны, значит $AB = CD$. Что и требовалось доказать. 5. Ответ: 6 см. $1)$ В $\triangle ABC$: $\angle C = 90^{\circ}, \angle A = 60^{\circ} \Rightarrow \angle B = 180^{\circ} - (90^{\circ} + 60^{\circ}) = 30^{\circ}$. $2)$ В $\triangle BKC$: $\angle KCB = \angle C - \angle ACK$. Нам не дан $\angle ACK$ напрямую, но указано $\angle AKC = 60^{\circ}$. $3)$ В $\triangle KBC$ угол $\angle BKC$ смежный с $\angle AKC$, значит $\angle BKC = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}$. $4)$ В $\triangle KBC$: $\angle KCB = 180^{\circ} - (120^{\circ} + 30^{\circ}) = 30^{\circ}$. $5)$ Так как $\angle KCB = \angle KBC = 30^{\circ}$, $\triangle KBC$ — равнобедренный, $KC = BK = 12$ см. Стоп, перепроверим: если $KC=12$, то в прямоугольном $\triangle KCB$ катет не может быть равен гипотенузе. **Поправка:** В прямоугольном $\triangle KCB$ (с прямым углом $C$) катет $CK$ лежит против угла $B = 30^{\circ}$. $CK = \frac{1}{2} BK = \frac{1}{2} \cdot 12 = 6$ см.