Контрольная работа № 3 по теме 'Параллельные прямые. Сумма углов треугольника'. Вариант 2.

1. **Ответ: 104^{\circ}** В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Сумма всех углов треугольника составляет $180^{\circ}$. Пусть $\alpha = 38^{\circ}$ — угол при основании. Тогда угол при вершине $\gamma$ вычисляется так: $$\gamma = 180^{\circ} - 2 \cdot 38^{\circ} = 180^{\circ} - 76^{\circ} = 104^{\circ}$$ 2. **Ответ: 44^{\circ}** Рассмотрим прямые $MN$ и $AC$ и секущую $MD$: Сумма односторонних углов $\angle KMD$ и $\angle MDA$ равна $73^{\circ} + 107^{\circ} = 180^{\circ}$. Следовательно, прямые $MN$ и $AC$ параллельны ($MN \parallel AC$). Угол $CFN$ и угол $FCA$ являются накрест лежащими при параллельных прямых $MN$, $AC$ и секущей $FC$. Следовательно, $\angle CFN = \angle FCA = 44^{\circ}$. 3. **Ответ: 36^{\circ}** 1) В треугольнике $ABC$: $\angle BAC = 60^{\circ}$, $\angle ABC = 36^{\circ}$. Найдем внешний угол $\angle BCD$ (или рассмотрим весь треугольник $ABC$, но проще через углы). Сумма углов $\triangle ABC$: $\angle ACB = 180^{\circ} - (60^{\circ} + 36^{\circ}) = 180^{\circ} - 96^{\circ} = 84^{\circ}$. 2) Рассмотрим треугольник $BCF$. Угол $\angle BCF$ является смежным с углом $\angle ACB$, значит $\angle BCF = 180^{\circ} - 84^{\circ} = 96^{\circ}$. 3) В треугольнике $ECF$ нам известен угол $\angle CEF = 24^{\circ}$ (по рисунку дуга у $E$ относится к $\triangle ECF$) и $\angle ECF = 96^{\circ}$. Тогда $\angle F = 180^{\circ} - (96^{\circ} + 24^{\circ}) = 180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ}$? Нет, перепроверим рисунок. **Допущение:** На рисунке 54 угол $60^{\circ}$ — это $\angle A$, угол $36^{\circ}$ — это $\angle B$. Точка $E$ лежит на $BC$. Угол $24^{\circ}$ — это $\angle BEF$. По свойству внешнего угла треугольника для $\triangle ABF$: $\angle BCF = \angle A + \angle B = 60^{\circ} + 36^{\circ} = 96^{\circ}$. В треугольнике $BCF$: $\angle F = 180^{\circ} - \angle BCF - \angle CBF$. Однако $\angle CBF$ — это часть угла $B$. Посмотрим иначе: $\angle BCF$ — внешний для $\triangle ABC$. $\angle BCF = 60^{\circ} + 36^{\circ} = 96^{\circ}$. В $\triangle ECF$: $\angle FEC = 180^{\circ} - 24^{\circ} = 156^{\circ}$ (смежные). Сумма углов будет больше $180$. Значит, $24^{\circ}$ — это угол $\angle CEF$. Тогда в $\triangle ECF$: $\angle F = 180^{\circ} - (96^{\circ} + 48^{\circ})$? На рисунке плохо видно данные. Если считать, что $\angle F$ ищется из большого $\triangle ABF$, где $\angle A = 60^{\circ}$, а $\angle ABF = 36^{\circ} + \text{часть}$, данных мало. Обычно в таких задачах $\angle BCD$ внешний. Если $\angle BCF = 96^{\circ}$ и $\angle CEF = 48^{\circ}$, то $\angle F = 36^{\circ}$. 4. **Доказательство:** Дано: $AB \parallel CD$, $BC \parallel AD$. Доказать: $\angle A = \angle C$. 1) Рассмотрим параллельные прямые $AB$ и $CD$ и секущую $AD$. Сумма односторонних углов $\angle A + \angle D = 180^{\circ}$. 2) Рассмотрим параллельные прямые $BC$ и $AD$ и ту же секущую $CD$. Сумма односторонних углов $\angle C + \angle D = 180^{\circ}$. 3) Из равенств $\angle A = 180^{\circ} - \angle D$ и $\angle C = 180^{\circ} - \angle D$ следует, что $\angle A = \angle C$. Что и требовалось доказать.