Г7 Контрольная работа № 3 по теме: «Параллельные прямые. Сумма углов треугольника». Вариант 2.

№ 1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Сумма всех углов треугольника составляет $180^{\circ}$. 1) $38^{\circ} \cdot 2 = 76^{\circ}$ — сумма углов при основании. 2) $180^{\circ} - 76^{\circ} = 104^{\circ}$ — угол при вершине. **Ответ: $104^{\circ}$.** № 2. На рис. 53 прямые $MN$ и $AC$ пересечены секущими. 1) $\angle KDA = 107^{\circ}$, смежный с ним $\angle KDC = 180^{\circ} - 107^{\circ} = 73^{\circ}$. 2) Так как соответственные углы $\angle MKD = 73^{\circ}$ и $\angle KDC = 73^{\circ}$ не равны (они накрест лежащие), проверим параллельность: $\angle MKD = 73^{\circ}$ и $\angle KDA = 107^{\circ}$ в сумме дают $180^{\circ}$ (односторонние), значит $MN \parallel AC$. 3) При $MN \parallel AC$ накрест лежащие углы равны: $\angle CFN = \angle FCA = 44^{\circ}$. **Ответ: $44^{\circ}$.** № 3. Рассмотрим рис. 54. 1) В $\triangle ABC$: $\angle C = 180^{\circ} - (60^{\circ} + 36^{\circ}) = 180^{\circ} - 96^{\circ} = 84^{\circ}$. 2) $\angle BCE = 180^{\circ} - \angle C = 180^{\circ} - 84^{\circ} = 96^{\circ}$ (как смежный) — не подходит, так как $E$ внутри. 3) В $\triangle ECF$: $\angle CEF = 180^{\circ} - (24^{\circ} + \angle F)$. Недостаточно данных о положении точки $E$. **Допущение:** Если $BE$ — отрезок, а $\angle BCF$ прямой или задан иначе. По рисунку $\angle BCF$ внешний для $\triangle ABC$. $\angle BCF = \angle A + \angle B = 60^{\circ} + 36^{\circ} = 96^{\circ}$. В $\triangle BCF$: $\angle F = 180^{\circ} - (\angle B + \angle BCF) = 180^{\circ} - (36^{\circ} + 96^{\circ}) = 180^{\circ} - 132^{\circ} = 48^{\circ}$. **Ответ: $48^{\circ}$.** № 4. В четырехугольнике $ABCD$ проведена диагональ $BD$. 1) Так как $AB \parallel CD$, то накрест лежащие $\angle ABD = \angle CDB$. 2) Так как $BC \parallel AD$, то накрест лежащие $\angle CBD = \angle ADB$. 3) $\triangle ABD = \triangle CDB$ по стороне ($BD$ общая) и двум прилежащим углам. 4) В равных треугольниках соответствующие элементы равны, значит $\angle A = \angle C$. Что и требовалось доказать. № 5. В прямоугольном $\triangle MNF$ ($\angle N=90^{\circ}$): 1) $\angle F = 180^{\circ} - (90^{\circ} + 60^{\circ}) = 30^{\circ}$. 2) В $\triangle MNF$ катет $MN$ лежит против угла $30^{\circ}$, значит $MN = \frac{1}{2} MF$. **Допущение:** В условии опечатка, $AD$ — биссектриса угла $M$ (в треугольнике $MNF$ нет вершины $A$). Пусть $MD$ — биссектриса $\angle M$. 3) $\angle NMD = \angle FMD = 60^{\circ} : 2 = 30^{\circ}$. 4) В $\triangle MDF$: $\angle FMD = 30^{\circ}$ и $\angle F = 30^{\circ}$, значит $\triangle MDF$ равнобедренный, $MD = FD = 20$ см. 5) В прямоугольном $\triangle MND$: катет $MN$ лежит против $\angle MDN = 60^{\circ}$, а гипотенуза $MD = 20$ см. $MN = MD \cdot \cos 30^{\circ} = 20 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3}$ см. Если искать через катет против $30^{\circ}$ в $\triangle MND$, то $ND = \frac{1}{2} MD = 10$ см. **Ответ: $10\sqrt{3}$ см.**