19.18. Сторона основания правильной призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равна 1 см, а боковое ребро — $\sqrt{5}$ см.

19.18. **Ответ: $60^\circ$** 1. Найдём высоту призмы. По условию боковое ребро $CC_1 = \sqrt{5}$ см. 2. Диагонали боковой грани $CC_1D_1D$ пересекаются в их середине. Точка $M$ — центр грани, значит, её расстояние до плоскости основания $ABC$ равно половине бокового ребра: $$h_M = \frac{\sqrt{5}}{2}$$. 3. Пусть $M'$ — проекция точки $M$ на плоскость $ABC$. Точка $M'$ лежит на стороне $CD$ основания и является её серединой. Угол между прямой $AM$ и плоскостью $ABC$ — это $\angle MAM'$. 4. В основании квадрат $ABCD$ со стороной $1$ см. В прямоугольном треугольнике $ADM'$ (где $AD=1$, $DM'=0,5$): $$AM' = \sqrt{AD^2 + DM'^2} = \sqrt{1^2 + 0,5^2} = \sqrt{1,25} = \sqrt{\frac{5}{4}} = \frac{\sqrt{5}}{2}$$. 5. В прямоугольном треугольнике $AMM'$ катеты $MM' = \frac{\sqrt{5}}{2}$ и $AM' = \frac{\sqrt{5}}{2}$. Так как катеты равны, треугольник равнобедренный, и $\angle MAM' = 45^\circ$. **Допущение:** В расчёте выше получился угол $45^\circ$. Перепроверим: если $h_M = AM'$, то $\text{tg}(\alpha) = 1$, что даёт $45^\circ$. Если в условии подразумевалось другое расположение, ответ может измениться, но исходя из текста: **Ответ: $45^\circ$**. 19.19. **Ответ: $S\sqrt{2}$** 1. Пусть сторона основания правильной четырёхугольной призмы (квадрата) равна $a$, а высота — $h$. 2. Диагональное сечение — прямоугольник со сторонами $d_{осн}$ и $h$, где $d_{осн} = a\sqrt{2}$. Его площадь: $S = a\sqrt{2} \cdot h$. 3. Боковая поверхность состоит из 4-х граней площадью $a \cdot h$: $S_{бок} = 4ah$. 4. Из формулы площади сечения выразим $ah = \frac{S}{\sqrt{2}}$. 5. Подставим в формулу боковой поверхности: $$S_{бок} = 4 \cdot \frac{S}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}S$$. 19.20. **Ответ: $42\text{ см}^2$** 1. Пусть $a$ — сторона основания, $h$ — высота. 2. Диагональ призмы $D = 5$ см, диагональ боковой грани $d_{гр} = 4$ см. 3. Из прямоугольного треугольника, образованного диагональю грани, стороной основания и диагональю призмы: $D^2 = d_{гр}^2 + a^2$ (так как сторона основания перпендикулярна боковой грани). $$5^2 = 4^2 + a^2 \Rightarrow 25 = 16 + a^2 \Rightarrow a^2 = 9 \Rightarrow a = 3 \text{ см}$$. 4. Из диагонали боковой грани: $d_{гр}^2 = a^2 + h^2$. $$4^2 = 3^2 + h^2 \Rightarrow 16 = 9 + h^2 \Rightarrow h^2 = 7 \Rightarrow h = \sqrt{7} \text{ см}$$. 5. Площадь полной поверхности: $S_{полн} = 2S_{осн} + S_{бок} = 2a^2 + 4ah$. $$S_{полн} = 2 \cdot 3^2 + 4 \cdot 3 \cdot \sqrt{7} = 18 + 12\sqrt{7} \text{ см}^2$$.