Диагональ правильной четырёхугольной призмы равна 5 см, а диагональ боковой грани — 4 см. Найдите площадь полной поверхности призмы.

**Ответ: $18+12\sqrt{7}$ см²** Пусть $a$ — сторона основания призмы (квадрата), $h$ — её высота. 1. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный диагональю призмы $D=5$, высотой $h$ и диагональю основания $d_{осн} = a\sqrt{2}$. По теореме Пифагора: $$D^2 = (a\sqrt{2})^2 + h^2 \implies 25 = 2a^2 + h^2$$ 2. Рассмотрим прямоугольный треугольник в боковой грани с диагональю $d_{гр}=4$, стороной основания $a$ и высотой $h$. По теореме Пифагора: $$d_{гр}^2 = a^2 + h^2 \implies 16 = a^2 + h^2$$ 3. Найдём $a^2$, вычтя второе уравнение из первого: $$(2a^2 + h^2) - (a^2 + h^2) = 25 - 16$$ $$a^2 = 9 \implies a = 3 \text{ см}$$ 4. Найдём высоту $h$: $$h^2 = 16 - a^2 = 16 - 9 = 7 \implies h = \sqrt{7} \text{ см}$$ 5. Площадь полной поверхности правильной четырёхугольной призмы: $$S_{полн} = 2S_{осн} + S_{бок} = 2a^2 + 4ah$$ $$S_{полн} = 2 \cdot 3^2 + 4 \cdot 3 \cdot \sqrt{7} = 18 + 12\sqrt{7} \text{ см}^2$$